ID#6631 HSC Higher Math 2nd MCQ (Jessore 2025)

$i$ এর ঘনমূল নির্ণয় করার জন্য, আমরা $i$ কে পোলার আকারে প্রকাশ করি: $i = \cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2)$। মূল নির্ণয়ের জন্য ডিময়ভারের উপপাদ্য (De Moivre's theorem) ব্যবহার করি: $z^{1/3} = [\cos(\frac{\pi/2 + 2k\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi/2 + 2k\pi}{3})]$ যেখানে $k=0, 1, 2$।
$k=0$ এর জন্য: $z_0 = \cos(\pi/6) + i\sin(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} = \frac{1}{2}(\sqrt{3} + i)$।
$k=1$ এর জন্য: $z_1 = \cos(\frac{\pi/2 + 2\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi/2 + 2\pi}{3}) = \cos(5\pi/6) + i\sin(5\pi/6) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} = \frac{1}{2}(-\sqrt{3} + i)$। এটি $\frac{1}{2}(i - \sqrt{3})$ এর সমান।
$k=2$ এর জন্য: $z_2 = \cos(\frac{\pi/2 + 4\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi/2 + 4\pi}{3}) = \cos(3\pi/2) + i\sin(3\pi/2) = 0 + i(-1) = -i$।
সুতরাং, $i$ এর তিনটি ঘনমূল হলো: $-i$, $\frac{1}{2}(\sqrt{3} + i)$, এবং $\frac{1}{2}(-\sqrt{3} + i)$। এইগুলি বিকল্প 'b'-এর সাথে মিলে যায়।