ID#6632 HSC Higher Math 2nd MCQ (Jessore 2025)

আমরা $4 + 3i$ এর বর্গমূল নির্ণয় করতে চাই। ধরা যাক, $\sqrt{4 + 3i} = x + iy$ যেখানে $x, y$ বাস্তব সংখ্যা। উভয় পাশে বর্গ করে পাই $4 + 3i = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$। বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ তুলনা করে পাই $x^2 - y^2 = 4$ এবং $2xy = 3$। এছাড়াও, $|x+iy|^2 = |4+3i|$, অর্থাৎ $x^2+y^2 = \sqrt{4^2+3^2} = 5$। এখন $x^2 - y^2 = 4$ এবং $x^2 + y^2 = 5$ যোগ করে পাই $2x^2 = 9 \Rightarrow x^2 = \frac{9}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{3}{\sqrt{2}}$। বিয়োগ করে পাই $2y^2 = 1 \Rightarrow y^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$। যেহেতু $2xy = 3$ ধনাত্মক, $x$ ও $y$ এর চিহ্ন একই হবে। সুতরাং, বর্গমূলগুলি হল $\pm\left(\frac{3}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}(3 + i)$।