ID#6642 HSC Higher Math 2nd MCQ (Comilla 2025)

প্রদত্ত অপশনগুলি থেকে বোঝা যায় যে প্রশ্নটি $z^4 = -169$ সমীকরণের মূলগুলি জানতে চেয়েছে, যদিও প্রশ্নে $\sqrt[4]{169}$ লেখা আছে। $z^4 = -169$ সমীকরণকে পোলার ফর্মে লিখলে, $z^4 = 169 (\cos(\pi + 2k\pi) + i\sin(\pi + 2k\pi))$ হয়। এর চতুর্থ মূলগুলি হলো $z_k = (169)^{1/4} \left( \cos\left(\frac{\pi + 2k\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 2k\pi}{4}\right) \right)$ যেখানে $k=0,1,2,3$। আমরা জানি $(169)^{1/4} = \sqrt{13}$। $k=0$ এর জন্য, মূলটি হলো $\sqrt{13}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) = \sqrt{13}(\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{\frac{13}{2}}(1+i)$। একইভাবে, অন্যান্য মূলগুলি হলো $\sqrt{\frac{13}{2}}(1-i)$, $-\sqrt{\frac{13}{2}}(1+i)$ এবং $-\sqrt{\frac{13}{2}}(1-i)$। এই চারটি মূলকে একসাথে $\pm\sqrt{\frac{13}{2}}(1 \pm i)$ আকারে প্রকাশ করা যায়, যা অপশন (b) এর সাথে মিলে যায়।