ID#6646 HSC Higher Math 2nd MCQ (Comilla 2025)

মনে করি $x^2 - 5x - 1 = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয় হলো $\alpha$ এবং $\beta$। মূল-সহগ সম্পর্ক থেকে পাই: মূলদ্বয়ের যোগফল $\alpha + \beta = -(-5)/1 = 5$ এবং মূলদ্বয়ের গুণফল $\alpha \beta = -1/1 = -1$। আমাদের এমন একটি নতুন সমীকরণ তৈরি করতে হবে যার মূলদ্বয় হলো $(\alpha-2)$ এবং $(\beta-2)$। নতুন মূলদ্বয়ের যোগফল হবে: $(\alpha-2) + (\beta-2) = (\alpha + \beta) - 4 = 5 - 4 = 1$। নতুন মূলদ্বয়ের গুণফল হবে: $(\alpha-2)(\beta-2) = \alpha\beta - 2\alpha - 2\beta + 4 = \alpha\beta - 2(\alpha + \beta) + 4 = -1 - 2(5) + 4 = -1 - 10 + 4 = -7$। সুতরাং, নতুন সমীকরণটি হলো $x^2 - (\text{নতুন মূলদ্বয়ের যোগফল})x + (\text{নতুন মূলদ্বয়ের গুণফল}) = 0$। অর্থাৎ, $x^2 - (1)x + (-7) = 0$, যা $x^2 - x - 7 = 0$।