ID#6744 HSC Higher Math 2nd MCQ (Dinajpur 2025)

প্রথম বিবৃতি: $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \pi/2$ এটি একটি মৌলিক বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন (Inverse Trigonometric Function) অভেদ, তাই এটি সত্য।
দ্বিতীয় বিবৃতি: $1/2 \sec^{-1} ((1+x^2)/(1-x^2)) = \tan^{-1} x$। আমরা জানি যে $2\tan^{-1} x = \cos^{-1} ((1-x^2)/(1+x^2))$ যখন $x \ge 0$। এছাড়াও, $\sec^{-1} A = \cos^{-1} (1/A)$ যখন $A \ge 1$। এখানে $A = (1+x^2)/(1-x^2)$। সুতরাং, $\sec^{-1} ((1+x^2)/(1-x^2)) = \cos^{-1} ((1-x^2)/(1+x^2))$। তাহলে, $1/2 \sec^{-1} ((1+x^2)/(1-x^2)) = 1/2 \cos^{-1} ((1-x^2)/(1+x^2))$। এটি $1/2 \cdot (2\tan^{-1} x) = \tan^{-1} x$ এর সমান। সুতরাং এটিও সত্য (সাধারণত $x \ge 0$ শর্তে)।
তৃতীয় বিবৃতি: $\sin^{-1} x = \cos^{-1} \sqrt(1+x^2)$। $\sin^{-1} x$ এর ডোমেন হলো $[-1, 1]$। কিন্তু $\cos^{-1} \sqrt(1+x^2)$ এর জন্য, $\sqrt(1+x^2)$ অবশ্যই $[-1, 1]$ এর মধ্যে থাকতে হবে, যা কেবলমাত্র $x=0$ এর জন্য সম্ভব। এটি একটি সাধারণ অভেদ নয়, তাই বিবৃতিটি ভুল।
সুতরাং, i এবং ii সঠিক।