ID#6792 HSC Higher Math 1st CQ (Dhaka 2023)

ক) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ এবং $B = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ হলে $(AB)^t$ নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে,
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}_{1 \times 3}$
$B = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}_{3 \times 1}$

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
$=> AB = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \end{pmatrix}$
$=> AB = \begin{pmatrix} 3 + 4 + 3 \end{pmatrix}$
$=> AB = \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix}$

$(AB)^t = \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix}^t$
$=> (AB)^t = \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix}$

উত্তর: $\begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix}$



খ) দৃশ্যকল্প-১ এ উল্লিখিত সমীকরণ জোট নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণ জোট:
$x + y + z = 1$
$x + 2y + z = 2$
$x + y + 2z = 0$

এখানে, প্রধান নির্ণায়ক $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
$=> D = 1(4 - 1) - 1(2 - 1) + 1(1 - 2)$
$=> D = 1(3) - 1(1) + 1(-1)$
$=> D = 3 - 1 - 1$
$=> D = 1$

এখন,
$D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
$=> D_x = 1(4 - 1) - 1(4 - 0) + 1(2 - 0)$
$=> D_x = 1(3) - 1(4) + 1(2)$
$=> D_x = 3 - 4 + 2$
$=> D_x = 1$

$D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$
$=> D_y = 1(4 - 0) - 1(2 - 1) + 1(0 - 2)$
$=> D_y = 1(4) - 1(1) + 1(-2)$
$=> D_y = 4 - 1 - 2$
$=> D_y = 1$

$D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$
$=> D_z = 1(0 - 2) - 1(0 - 2) + 1(1 - 2)$
$=> D_z = 1(-2) - 1(-2) + 1(-1)$
$=> D_z = -2 + 2 - 1$
$=> D_z = -1$

ক্রেমারের নিয়ম অনুসারে,
$x = \frac{D_x}{D} => x = \frac{1}{1} => x = 1$
$y = \frac{D_y}{D} => y = \frac{1}{1} => y = 1$
$z = \frac{D_z}{D} => z = \frac{-1}{1} => z = -1$

নির্ণেয় সমাধান: $(x, y, z) = (1, 1, -1)$



গ) দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে, $D = S^3$ যেখানে $S = p + q + r$।

উদ্দীপক হতে,
$D = 8 \begin{vmatrix} \frac{p-q-r}{2} & p & p \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

নির্ণায়কের ধর্ম অনুযায়ী প্রতিটি সারি থেকে $\frac{1}{2}$ কমন নিলে বাইরে $2 \times 2 \times 2 = 8$ ভাগ হয়ে যাবে:
$=> D = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \begin{vmatrix} p-q-r & 2p & 2p \\ 2q & q-r-p & 2q \\ 2r & 2r & r-p-q \end{vmatrix}$
$=> D = \begin{vmatrix} p-q-r & 2p & 2p \\ 2q & q-r-p & 2q \\ 2r & 2r & r-p-q \end{vmatrix}$

যোজন প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে, $R_1' = R_1 + R_2 + R_3$:
$=> D = \begin{vmatrix} (p-q-r)+2q+2r & 2p+(q-r-p)+2r & 2p+2q+(r-p-q) \\ 2q & q-r-p & 2q \\ 2r & 2r & r-p-q \end{vmatrix}$
$=> D = \begin{vmatrix} p+q+r & p+q+r & p+q+r \\ 2q & q-r-p & 2q \\ 2r & 2r & r-p-q \end{vmatrix}$

প্রথম সারি থেকে $(p+q+r)$ কমন নিয়ে পাই:
$=> D = (p+q+r) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2q & q-r-p & 2q \\ 2r & 2r & r-p-q \end{vmatrix}$

এখন বিয়োজন প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে, $C_1' = C_1 - C_2$ এবং $C_2' = C_2 - C_3$:
$=> D = (p+q+r) \begin{vmatrix} 1-1 & 1-1 & 1 \\ 2q-(q-r-p) & (q-r-p)-2q & 2q \\ 2r-2r & 2r-(r-p-q) & r-p-q \end{vmatrix}$
$=> D = (p+q+r) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ p+q+r & -(p+q+r) & 2q \\ 0 & p+q+r & r-p-q \end{vmatrix}$

প্রথম সারির সাপেক্ষে বিস্তার করে পাই:
$=> D = (p+q+r) \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} p+q+r & -(p+q+r) \\ 0 & p+q+r \end{vmatrix}$
$=> D = (p+q+r) [ (p+q+r)(p+q+r) - 0 ]$
$=> D = (p+q+r) \cdot (p+q+r)^2$
$=> D = (p+q+r)^3$

দেওয়া আছে, $S = p + q + r$
$=> D = S^3$ (প্রমাণিত)