ID#6793 HSC Higher Math 1st CQ (Dhaka 2023)

ক) $P + Q$ ম্যাট্রিক্সের ট্রেস নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে,
$P = \begin{bmatrix} 4 & -1 & 3 \\ 0 & 7 & 5 \\ 6 & -2 & 2 \end{bmatrix}$ এবং $Q = \begin{bmatrix} 0 & 4 & 3 \\ -3 & -4 & -5 \\ -2 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

$P + Q = \begin{bmatrix} 4+0 & -1+4 & 3+3 \\ 0+(-3) & 7+(-4) & 5+(-5) \\ 6+(-2) & -2+1 & 2+2 \end{bmatrix}$
$=> P + Q = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 6 \\ -3 & 3 & 0 \\ 4 & -1 & 4 \end{bmatrix}$

আমরা জানি, কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান ডায়াগোনাল বা মুখ্য কর্ণের উপাদানগুলোর সমষ্টিকে তার ট্রেস বলে।
$Tr(P + Q) = 4 + 3 + 4$
$=> Tr(P + Q) = 11$

উত্তর: $11$



খ) প্রমাণ কর যে, $(PQ)^t = Q^t P^t$।

দেওয়া আছে,
$P = \begin{bmatrix} 4 & -1 & 3 \\ 0 & 7 & 5 \\ 6 & -2 & 2 \end{bmatrix}$ এবং $Q = \begin{bmatrix} 0 & 4 & 3 \\ -3 & -4 & -5 \\ -2 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

বামপক্ষ:
$PQ = \begin{bmatrix} 4 & -1 & 3 \\ 0 & 7 & 5 \\ 6 & -2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 4 & 3 \\ -3 & -4 & -5 \\ -2 & 1 & 2 \end{bmatrix}$
$=> PQ = \begin{bmatrix} 4(0)+(-1)(-3)+3(-2) & 4(4)+(-1)(-4)+3(1) & 4(3)+(-1)(-5)+3(2) \\ 0(0)+7(-3)+5(-2) & 0(4)+7(-4)+5(1) & 0(3)+7(-5)+5(2) \\ 6(0)+(-2)(-3)+2(-2) & 6(4)+(-2)(-4)+2(1) & 6(3)+(-2)(-5)+2(2) \end{bmatrix}$
$=> PQ = \begin{bmatrix} 0+3-6 & 16+4+3 & 12+5+6 \\ 0-21-10 & 0-28+5 & 0-35+10 \\ 0+6-4 & 24+8+2 & 18+10+4 \end{bmatrix}$
$=> PQ = \begin{bmatrix} -3 & 23 & 23 \\ -31 & -23 & -25 \\ 2 & 34 & 32 \end{bmatrix}$

$(PQ)^t = \begin{bmatrix} -3 & -31 & 2 \\ 23 & -23 & 34 \\ 23 & -25 & 32 \end{bmatrix}$

ডানপক্ষ:
$P^t = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 6 \\ -1 & 7 & -2 \\ 3 & 5 & 2 \end{bmatrix}$
$Q^t = \begin{bmatrix} 0 & -3 & -2 \\ 4 & -4 & 1 \\ 3 & -5 & 2 \end{bmatrix}$

$Q^t P^t = \begin{bmatrix} 0 & -3 & -2 \\ 4 & -4 & 1 \\ 3 & -5 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 0 & 6 \\ -1 & 7 & -2 \\ 3 & 5 & 2 \end{bmatrix}$
$=> Q^t P^t = \begin{bmatrix} 0(4)+(-3)(-1)+(-2)(3) & 0(0)+(-3)(7)+(-2)(5) & 0(6)+(-3)(-2)+(-2)(2) \\ 4(4)+(-4)(-1)+1(3) & 4(0)+(-4)(7)+1(5) & 4(6)+(-4)(-2)+1(2) \\ 3(4)+(-5)(-1)+2(3) & 3(0)+(-5)(7)+2(5) & 3(6)+(-5)(-2)+2(2) \end{bmatrix}$
$=> Q^t P^t = \begin{bmatrix} 0+3-6 & 0-21-10 & 0+6-4 \\ 16+4+3 & 0-28+5 & 24+8+2 \\ 12+5+6 & 0-35+10 & 18+10+4 \end{bmatrix}$
$=> Q^t P^t = \begin{bmatrix} -3 & -31 & 2 \\ 23 & -23 & 34 \\ 23 & -25 & 32 \end{bmatrix}$

অতএব, $(PQ)^t = Q^t P^t$ (প্রমাণিত)



গ) $PR = RP = I$ হলে $R$ ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর। যেখানে $I$ একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স।

যেহেতু $PR = RP = I$, সেহেতু সংজ্ঞা অনুযায়ী $R$ হলো $P$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স।
$R = P^{-1} = \frac{1}{|P|} adj(P)$

দেওয়া আছে,
$P = \begin{bmatrix} 4 & -1 & 3 \\ 0 & 7 & 5 \\ 6 & -2 & 2 \end{bmatrix}$

$|P| = \begin{vmatrix} 4 & -1 & 3 \\ 0 & 7 & 5 \\ 6 & -2 & 2 \end{vmatrix}$
$=> |P| = 4(14 - (-10)) - (-1)(0 - 30) + 3(0 - 42)$
$=> |P| = 4(24) + 1(-30) + 3(-42)$
$=> |P| = 96 - 30 - 126$
$=> |P| = -60$
যেহেতু $|P| \neq 0$, তাই বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান।

এখন $P$ এর উপাদানগুলোর সহগুণকসমূহ নির্ণয় করি:
$P_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 7 & 5 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} = 14 + 10 = 24$
$P_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = -(0 - 30) = 30$
$P_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 0 & 7 \\ 6 & -2 \end{vmatrix} = 0 - 42 = -42$

$P_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} = -(-2 + 6) = -4$
$P_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = 8 - 18 = -10$
$P_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -2 \end{vmatrix} = -(-8 + 6) = 2$

$P_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 7 & 5 \end{vmatrix} = -5 - 21 = -26$
$P_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = -(20 - 0) = -20$
$P_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 7 \end{vmatrix} = 28 - 0 = 28$

সহগুণক ম্যাট্রিক্স $C = \begin{bmatrix} 24 & 30 & -42 \\ -4 & -10 & 2 \\ -26 & -20 & 28 \end{bmatrix}$

অনুবন্ধী (Adjoint) ম্যাট্রিক্স:
$adj(P) = C^t = \begin{bmatrix} 24 & -4 & -26 \\ 30 & -10 & -20 \\ -42 & 2 & 28 \end{bmatrix}$

অতএব,
$R = P^{-1} = \frac{1}{-60} \begin{bmatrix} 24 & -4 & -26 \\ 30 & -10 & -20 \\ -42 & 2 & 28 \end{bmatrix}$
$=> R = \begin{bmatrix} -\frac{24}{60} & \frac{4}{60} & \frac{26}{60} \\ -\frac{30}{60} & \frac{10}{60} & \frac{20}{60} \\ \frac{42}{60} & -\frac{2}{60} & -\frac{28}{60} \end{bmatrix}$
$=> R = \begin{bmatrix} -\frac{2}{5} & \frac{1}{15} & \frac{13}{30} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{7}{10} & -\frac{1}{30} & -\frac{7}{15} \end{bmatrix}$

উত্তর: $R = \begin{bmatrix} -\frac{2}{5} & \frac{1}{15} & \frac{13}{30} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{7}{10} & -\frac{1}{30} & -\frac{7}{15} \end{bmatrix}$