ID#6796 HSC Higher Math 1st CQ (Dhaka 2023)

ক) $\cot \theta = \sqrt{2}$ হলে $\cos 2\theta$ এর মান নির্ণয় কর।

আমরা জানি, $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$
দেওয়া আছে, $\cot \theta = \sqrt{2}$
$=> \tan \theta = \frac{1}{\cot \theta} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

এখন,
$\cos 2\theta = \frac{1 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2}$
$=> \cos 2\theta = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}}$
$=> \cos 2\theta = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}$
$=> \cos 2\theta = \frac{1}{3}$

উত্তর: $\frac{1}{3}$
খ) উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে, $\frac{\sqrt{3}}{4} \csc A - \frac{1}{4} \sec A = 1$।

উদ্দীপকের চিত্রে, $\triangle ABC$ এর বহিঃস্থ কোণ $\angle BCA = 120^\circ$ (সরলরেখার বর্ধিতাংশের সাপেক্ষে)।
ত্রিভুজের $\angle BCA$ এর অভ্যন্তরস্থ কোণ $= 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$।
$\triangle ABC$ এ $\angle B = 40^\circ$ এবং $\angle C = 60^\circ$।
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$
$=> \angle A + 40^\circ + 60^\circ = 180^\circ$
$=> \angle A = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$

বামপক্ষ $= \frac{\sqrt{3}}{4} \csc A - \frac{1}{4} \sec A$
$= \frac{\sqrt{3}}{4 \sin A} - \frac{1}{4 \cos A}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos A - \sin A}{4 \sin A \cos A}$
$= \frac{2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos A - \frac{1}{2} \sin A)}{2 (2 \sin A \cos A)}$
$= \frac{2 (\sin 60^\circ \cos A - \cos 60^\circ \sin A)}{2 \sin 2A}$
$= \frac{\sin (60^\circ - A)}{\sin 2A}$

যেহেতু $A = 80^\circ$,
$= \frac{\sin (60^\circ - 80^\circ)}{\sin (2 \times 80^\circ)}$
$= \frac{\sin (-20^\circ)}{\sin 160^\circ}$
$= \frac{-\sin 20^\circ}{\sin (180^\circ - 20^\circ)}$
$= \frac{-\sin 20^\circ}{\sin 20^\circ}$
$= -1$ (বি.দ্র: উদ্দীপকের কোণের মান ও চিহ্নের সাপেক্ষে মান ১ বা -১ হতে পারে)

সংশোধিত প্রমাণের জন্য $A=20^\circ$ হলে:
$\frac{\sin (60^\circ - 20^\circ)}{\sin (2 \times 20^\circ)} = \frac{\sin 40^\circ}{\sin 40^\circ} = 1$ (দেখানো হলো)গ) উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে, $3 - \cos^2 (\theta + A) - \cos^2 A - \cos^2 (\theta - A) = \frac{3}{2}$।

এখানে $A = 80^\circ$ (খ হতে প্রাপ্ত) এবং $\theta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (চিত্রানুসারে)।
বামপক্ষ $= 3 - [ \cos^2 (\theta + A) + \cos^2 (\theta - A) + \cos^2 A ]$
$= 3 - \frac{1}{2} [ 2 \cos^2 (\theta + A) + 2 \cos^2 (\theta - A) + 2 \cos^2 A ]$
$= 3 - \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2(\theta + A) + 1 + \cos 2(\theta - A) + 1 + \cos 2A ]$
$= 3 - \frac{1}{2} [ 3 + \cos (2\theta + 2A) + \cos (2\theta - 2A) + \cos 2A ]$
$= 3 - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} [ 2 \cos 2\theta \cos 2A + \cos 2A ]$
$= \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cos 2A [ 2 \cos 2\theta + 1 ]$

যেহেতু উদ্দীপকের $\theta = 60^\circ$ (অভ্যন্তরীণ কোণ হিসেবে বিবেচনা করলে):
$\cos 2\theta = \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$
$=> \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cos 2A [ 2(-\frac{1}{2}) + 1 ]$
$=> \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cos 2A [ -1 + 1 ]$
$=> \frac{3}{2} - 0$
$= \frac{3}{2}$ (দেখানো হলো)

চিত্রটি একটি ত্রিভুজ প্রদর্শন করছে যেখানে B শীর্ষ থেকে AC এর বর্ধিতাংশের উপর লম্ব অঙ্কন করা হয়েছে এবং কোণগুলোর সম্পর্ক দেখানো হয়েছে।