ID#6799 HSC Higher Math 1st CQ (Dhaka 2023)

ক) $\int \frac{1}{a^2 + 4x^2} dx$ নির্ণয় কর।

ধরি, $I = \int \frac{1}{a^2 + 4x^2} dx$
$=> I = \int \frac{1}{a^2 + (2x)^2} dx$

ধরি, $2x = z$
$=> 2 dx = dz$
$=> dx = \frac{1}{2} dz$

মান বসিয়ে পাই,
$I = \int \frac{1}{a^2 + z^2} \cdot \frac{1}{2} dz$
$=> I = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a} \tan^{-1} \left( \frac{z}{a} \right) + c$
$=> I = \frac{1}{2a} \tan^{-1} \left( \frac{2x}{a} \right) + c$

উত্তর: $\frac{1}{2a} \tan^{-1} \left( \frac{2x}{a} \right) + c$



খ) দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে $\int x f(x) dx$ নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $f(x) = \sin^{-1} x$
আমাদের $\int x \sin^{-1} x dx$ নির্ণয় করতে হবে।

আংশিক সমাকলন (LIATE) নীতি অনুসারে, $u = \sin^{-1} x$ এবং $v = x$ ধরি।
$\int u v dx = u \int v dx - \int \left[ \frac{du}{dx} \int v dx \right] dx$
$=> \int x \sin^{-1} x dx = \sin^{-1} x \int x dx - \int \left[ \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) \int x dx \right] dx$
$=> = \sin^{-1} x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{x^2}{2} dx$
$=> = \frac{x^2}{2} \sin^{-1} x + \frac{1}{2} \int \frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$
$=> = \frac{x^2}{2} \sin^{-1} x + \frac{1}{2} \int \frac{1-x^2-1}{\sqrt{1-x^2}} dx$
$=> = \frac{x^2}{2} \sin^{-1} x + \frac{1}{2} \left[ \int \sqrt{1-x^2} dx - \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx \right]$
$=> = \frac{x^2}{2} \sin^{-1} x + \frac{1}{2} \left[ \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} + \frac{1^2}{2}\sin^{-1} x - \sin^{-1} x \right] + c$
$=> = \frac{x^2}{2} \sin^{-1} x + \frac{x\sqrt{1-x^2}}{4} - \frac{1}{4}\sin^{-1} x + c$
$=> = \frac{1}{4} (2x^2 - 1) \sin^{-1} x + \frac{x\sqrt{1-x^2}}{4} + c$

উত্তর: $\frac{1}{4} (2x^2 - 1) \sin^{-1} x + \frac{x\sqrt{1-x^2}}{4} + c$



গ) সমাকলন পদ্ধতিতে দৃশ্যকল্প-১ ও $x + y = 2$ রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণ: $x^2 + y^2 = 4$ যা একটি বৃত্ত (কেন্দ্র $(0,0)$, ব্যাসার্ধ $2$)।
সরলরেখার সমীকরণ: $x + y = 2 => y = 2 - x$

বৃত্ত ও সরলরেখার ছেদবিন্দুসমূহ:
$x^2 + (2-x)^2 = 4$
$=> x^2 + 4 - 4x + x^2 = 4$
$=> 2x^2 - 4x = 0$
$=> 2x(x - 2) = 0$
$=> x = 0, 2$

আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল $A$:
$A = \int_{0}^{2} (y_{circle} - y_{line}) dx$
$=> A = \int_{0}^{2} (\sqrt{4-x^2} - (2-x)) dx$
$=> A = \left[ \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + \frac{4}{2} \sin^{-1} \frac{x}{2} - (2x - \frac{x^2}{2}) \right]_{0}^{2}$
$=> A = \left( \frac{2\sqrt{4-4}}{2} + 2 \sin^{-1}(1) - (4 - \frac{4}{2}) \right) - (0 + 2\sin^{-1}(0) - 0)$
$=> A = (0 + 2 \cdot \frac{\pi}{2} - 2) - 0$
$=> A = (\pi - 2)$ বর্গ একক।

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল: $(\pi - 2)$ বর্গ একক।








2
2
Area

চিত্রে লাল রঙের ছায়াবৃত অংশটি বৃত্ত এবং সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর ক্ষেত্র নির্দেশ করছে।