ID#6800 HSC Higher Math 1st CQ (Sylhet 2023)

ক) বিস্তার না করে $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}$ এর মান নির্ণয় কর।

ধরি, $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}$

কলাম অপারেশন প্রয়োগ করি, $C_1' = C_1 - C_2$ এবং $C_2' = C_2 - C_3$:
$=> D = \begin{vmatrix} 1-2 & 2-3 & 3 \\ 4-5 & 5-6 & 6 \\ 7-8 & 8-9 & 9 \end{vmatrix}$
$=> D = \begin{vmatrix} -1 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 6 \\ -1 & -1 & 9 \end{vmatrix}$

যেহেতু নির্ণায়কটির প্রথম ও দ্বিতীয় কলাম অভিন্ন ($C_1 = C_2$), সেহেতু নির্ণায়কের ধর্ম অনুযায়ী এর মান শূন্য।
$=> D = 0$

উত্তর: $0$



খ) উদ্দীপকের আলোকে $A^2 - 7A - 8I_3$ নির্ণয় কর; যখন $p = 2$।

$p = 2$ হলে, $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \end{bmatrix}$

$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \end{bmatrix}$
$=> A^2 = \begin{bmatrix} 4+9+9 & 6+6+9 & 6+9+6 \\ 6+6+9 & 9+4+9 & 9+6+6 \\ 6+9+6 & 9+6+6 & 9+9+4 \end{bmatrix}$
$=> A^2 = \begin{bmatrix} 22 & 21 & 21 \\ 21 & 22 & 21 \\ 21 & 21 & 22 \end{bmatrix}$

এখন, $A^2 - 7A - 8I_3$:
$= \begin{bmatrix} 22 & 21 & 21 \\ 21 & 22 & 21 \\ 21 & 21 & 22 \end{bmatrix} - 7 \begin{bmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \end{bmatrix} - 8 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 22 & 21 & 21 \\ 21 & 22 & 21 \\ 21 & 21 & 22 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 14 & 21 & 21 \\ 21 & 14 & 21 \\ 21 & 21 & 14 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 22-14-8 & 21-21-0 & 21-21-0 \\ 21-21-0 & 22-14-8 & 21-21-0 \\ 21-21-0 & 21-21-0 & 22-14-8 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

উত্তর: $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$



গ) $AX = B$ হলে নির্ণায়কের সাহায্যে 'X' নির্ণয় কর যেখানে $p = 1, B = \begin{bmatrix} 11 \\ 10 \\ 9 \end{bmatrix}$।

$p = 1$ হলে, $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$
ধরি, $X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$। অতএব সমীকরণ জোট:
$x + 2y + 2z = 11$
$2x + y + 2z = 10$
$2x + 2y + z = 9$

প্রধান নির্ণায়ক $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
$=> D = 1(1-4) - 2(2-4) + 2(4-2)$
$=> D = -3 + 4 + 4 = 5$

$D_x = \begin{vmatrix} 11 & 2 & 2 \\ 10 & 1 & 2 \\ 9 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
$=> D_x = 11(1-4) - 2(10-18) + 2(20-9)$
$=> D_x = -33 + 16 + 22 = 5$

$D_y = \begin{vmatrix} 1 & 11 & 2 \\ 2 & 10 & 2 \\ 2 & 9 & 1 \end{vmatrix}$
$=> D_y = 1(10-18) - 11(2-4) + 2(18-20)$
$=> D_y = -8 + 22 - 4 = 10$

$D_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 11 \\ 2 & 1 & 10 \\ 2 & 2 & 9 \end{vmatrix}$
$=> D_z = 1(9-20) - 2(18-20) + 11(4-2)$
$=> D_z = -11 + 4 + 22 = 15$

ক্রেমারের নিয়ম অনুসারে:
$x = \frac{D_x}{D} = \frac{5}{5} = 1$
$y = \frac{D_y}{D} = \frac{10}{5} = 2$
$z = \frac{D_z}{D} = \frac{15}{5} = 3$

নির্ণেয় X: $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$