ID#6802 HSC Higher Math 1st CQ (Sylhet 2023)

ক) $X$-অক্ষ এবং $(5, 4)$ বিন্দু হতে $(1, t)$ বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে $t$ এর মান নির্ণয় কর।

$X$-অক্ষ হতে $(1, t)$ বিন্দুর দূরত্ব = বিন্দুর কোটির পরমমান = $|t|$
$(5, 4)$ হতে $(1, t)$ বিন্দুর দূরত্ব = $\sqrt{(5-1)^2 + (4-t)^2}$
$=> \sqrt{4^2 + (4-t)^2}$

শর্তানুসারে,
$|t| = \sqrt{16 + (4-t)^2}$
$=> t^2 = 16 + 16 - 8t + t^2$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
$=> 8t = 32$
$=> t = 4$

উত্তর: $4$



খ) $ON$ রেখার সমান্তরাল এবং উহা হতে $6\sqrt{2}$ একক দূরবর্তী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

চিত্রানুসারে, $ON \perp AB$ এবং $\triangle OAB$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ। যেহেতু ক্ষেত্রফল ও জ্যামিতিক অবস্থান গ অংশে নির্দিষ্ট, খ অংশের জন্য ধরি $ON$ রেখাটি মূলবিন্দুগামী এবং $X$ ও $Y$ অক্ষের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে (চিত্রের নতি অনুযায়ী $\angle NOX = 135^\circ$ বা ঢাল $-1$ বিবেচনা করলে)।
ধরি, $ON$ রেখার সমীকরণ: $x + y = 0$

$ON$ রেখার সমান্তরাল যেকোনো রেখার সমীকরণ: $x + y + k = 0 \cdots\cdots (i)$

মূলবিন্দু $(0, 0)$ হতে $(i)$ নং রেখার লম্ব দূরত্ব $6\sqrt{2}$ একক।
$\left| \frac{0 + 0 + k}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \right| = 6\sqrt{2}$
$=> \frac{|k|}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$
$=> |k| = 6 \times 2 = 12$
$=> k = \pm 12$

অতএব, সমীকরণটি হবে: $x + y \pm 12 = 0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ: $x + y \pm 12 = 0$



গ) $\triangle OAB$ এর ক্ষেত্রফল $18$ বর্গ একক হলে $AB$ এর সমত্রিখন্ডন বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

চিত্রে $A$ বিন্দু $X'$-অক্ষে এবং $B$ বিন্দু $Y$-অক্ষে অবস্থিত।
ধরি, $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-a, 0)$ এবং $B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0, a)$ [যেহেতু $ON$ লম্ব রেখাটি চিত্র অনুযায়ী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ নির্দেশ করে]।
$\triangle OAB$ এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times OA \times OB = 18$
$=> \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = 18$
$=> a^2 = 36$
$=> a = 6$
অতএব, $A(-6, 0)$ এবং $B(0, 6)$।

$AB$ রেখাকে সমত্রিখন্ডিত করে এমন বিন্দুদ্বয় $P$ ও $Q$ হলে:
১. $P$ বিন্দু $AB$ কে $1:2$ অনুপাতে অন্তরবিভক্ত করে:
$x = \frac{1(0) + 2(-6)}{1+2} = \frac{-12}{3} = -4$
$y = \frac{1(6) + 2(0)}{1+2} = \frac{6}{3} = 2$
স্থানাঙ্ক: $(-4, 2)$

২. $Q$ বিন্দু $AB$ কে $2:1$ অনুপাতে অন্তরবিভক্ত করে:
$x = \frac{2(0) + 1(-6)}{2+1} = \frac{-6}{3} = -2$
$y = \frac{2(6) + 1(0)}{2+1} = \frac{12}{3} = 4$
স্থানাঙ্ক: $(-2, 4)$

সমত্রিখন্ডন বিন্দুর স্থানাঙ্ক: $(-4, 2)$ এবং $(-2, 4)$









O
A
B
N
X
Y

চিত্রটি কার্তেসীয় তলে ত্রিভুজ OAB এবং মূলবিন্দু হতে অতিভুজ AB এর ওপর লম্ব ON প্রদর্শন করছে।