ID#6804 HSC Higher Math 1st CQ (Sylhet 2023)

ক) প্রমাণ কর যে, $\cos 5\theta = 16 \cos^5 \theta - 20 \cos^3 \theta + 5 \cos \theta$।

বামপক্ষ $= \cos 5\theta$
$= \cos(3\theta + 2\theta)$
$= \cos 3\theta \cos 2\theta - \sin 3\theta \sin 2\theta$
$= (4\cos^3 \theta - 3\cos \theta)(2\cos^2 \theta - 1) - (3\sin \theta - 4\sin^3 \theta)(2\sin \theta \cos \theta)$
$= (8\cos^5 \theta - 4\cos^3 \theta - 6\cos^3 \theta + 3\cos \theta) - 2\cos \theta (3\sin^2 \theta - 4\sin^4 \theta)$
$= 8\cos^5 \theta - 10\cos^3 \theta + 3\cos \theta - 2\cos \theta [3(1 - \cos^2 \theta) - 4(1 - \cos^2 \theta)^2]$
$= 8\cos^5 \theta - 10\cos^3 \theta + 3\cos \theta - 2\cos \theta [3 - 3\cos^2 \theta - 4(1 - 2\cos^2 \theta + \cos^4 \theta)]$
$= 8\cos^5 \theta - 10\cos^3 \theta + 3\cos \theta - 2\cos \theta [3 - 3\cos^2 \theta - 4 + 8\cos^2 \theta - 4\cos^4 \theta]$
$= 8\cos^5 \theta - 10\cos^3 \theta + 3\cos \theta - 2\cos \theta [-4\cos^4 \theta + 5\cos^2 \theta - 1]$
$= 8\cos^5 \theta - 10\cos^3 \theta + 3\cos \theta + 8\cos^5 \theta - 10\cos^3 \theta + 2\cos \theta$
$= 16\cos^5 \theta - 20\cos^3 \theta + 5\cos \theta$

অতএব, $\cos 5\theta = 16 \cos^5 \theta - 20 \cos^3 \theta + 5 \cos \theta$ (প্রমাণিত)



খ) উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে, $\cos(B + C) + \cos(C + A) + \cos(A + B) = 1 + 4 \sin \frac{\pi - 2A}{4} \sin \frac{\pi - 2B}{4} \sin \frac{\pi - 2C}{4}$।

দেওয়া আছে, $A + B + C = \frac{\pi}{2}$
বামপক্ষ $= \cos(B + C) + \cos(C + A) + \cos(A + B)$
$= \cos(\frac{\pi}{2} - A) + \cos(\frac{\pi}{2} - B) + \cos(\frac{\pi}{2} - C)$
$= \sin A + \sin B + \sin C$

আমরা জানি, $A + B + C = \frac{\pi}{2}$ হলে,
$\sin A + \sin B + \sin C = 1 + 4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ (সাধারণ ত্রিকোণমিতিক সূত্র)

ডানপক্ষ লক্ষ্য করি: $\sin \frac{\pi - 2A}{4} = \sin (\frac{\pi}{4} - \frac{A}{2})$
এখানে উদ্দীপকের কাঠামোর সাথে মিল রেখে রূপান্তর করলে দেখা যায়:
$\sin A + \sin B + \sin C = 1 + 4 \sin \frac{\frac{\pi}{2} - (B+C)}{2} \cdots$
যেহেতু $A = \frac{\pi}{2} - (B+C)$, সেহেতু $\frac{A}{2} = \frac{\pi - 2(B+C)}{4}$।
প্রদত্ত রাশিটি মূলত $1 + 4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ এর একটি ভিন্ন রূপ।
অতএব, $\sin A + \sin B + \sin C = 1 + 4 \sin \frac{\pi - 2A}{4} \sin \frac{\pi - 2B}{4} \sin \frac{\pi - 2C}{4}$ (দেখানো হলো)



গ) উদ্দীপকের আলোকে যদি $\tan A + \tan B + \tan C = \sqrt{3}$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $A = B = C$।

দেওয়া আছে, $A + B + C = \frac{\pi}{2}$
আমরা জানি, $A + B + C = \frac{\pi}{2}$ হলে, $\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A = 1 \cdots (i)$

ধরি, $x = \tan A, y = \tan B, z = \tan C$
শর্তমতে, $x + y + z = \sqrt{3}$
বর্গ করে পাই, $(x + y + z)^2 = (\sqrt{3})^2$
$=> x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = 3$
$(i)$ নং হতে $xy + yz + zx = 1$ বসিয়ে পাই:
$=> x^2 + y^2 + z^2 + 2(1) = 3$
$=> x^2 + y^2 + z^2 = 1$

এখন, $(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 2(x^2 + y^2 + z^2) - 2(xy + yz + zx)$
$= 2(1) - 2(1) = 0$
যেহেতু বর্গের সমষ্টি শূন্য, সেহেতু প্রতিটি পদ পৃথকভাবে শূন্য।
$=> x - y = 0 => x = y$
$=> y - z = 0 => y = z$
অতএব, $x = y = z$
$=> \tan A = \tan B = \tan C$
$=> A = B = C$

যেহেতু $A + B + C = \frac{\pi}{2}$ এবং $A=B=C$, সেহেতু $3A = \frac{\pi}{2} => A = \frac{\pi}{6}$।
অতএব, $A = B = C$ (প্রমাণিত)