ID#6806 HSC Higher Math 1st CQ (Sylhet 2023)

ক) মান নির্ণয় কর: $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 - \cos ax}$।

ধরি, $L = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 - \cos ax}$
আমরা জানি, $1 - \cos ax = 2 \sin^2 \frac{ax}{2}$

$=> L = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2 \sin^2 \frac{ax}{2}}$
$=> L = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{1}{\left( \frac{\sin \frac{ax}{2}}{x} \right)^2}$
$=> L = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{1}{\left( \frac{\sin \frac{ax}{2}}{\frac{ax}{2}} \cdot \frac{a}{2} \right)^2}$
$=> L = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(1 \cdot \frac{a}{2})^2}$ [যেহেতু $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$]
$=> L = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{a^2}$
$=> L = \frac{2}{a^2}$

উত্তর: $\frac{2}{a^2}$



খ) $y = f(f(x))$ হলে দেখাও যে, $\frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \tan x + [1 - \{f(x)\}^2 ] y = 0$।

দেওয়া আছে, $f(x) = \sin x$
অতএব, $y = \sin(\sin x)$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{dy}{dx} = \cos(\sin x) \cdot \cos x$

পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \{ \cos(\sin x) \cdot \cos x \}$
$=> \frac{d^2 y}{dx^2} = \cos(\sin x) \cdot (-\sin x) + \cos x \cdot \{ -\sin(\sin x) \cdot \cos x \}$
$=> \frac{d^2 y}{dx^2} = -\sin x \cos(\sin x) - \cos^2 x \sin(\sin x)$

এখন বামপক্ষ:
$= \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \tan x + [1 - \sin^2 x] y$
$= \{ -\sin x \cos(\sin x) - \cos^2 x \sin(\sin x) \} + \{ \cos(\sin x) \cos x \} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \cos^2 x \cdot \sin(\sin x)$
$= -\sin x \cos(\sin x) - \cos^2 x \sin(\sin x) + \sin x \cos(\sin x) + \cos^2 x \sin(\sin x)$
$= 0$

অতএব, $\frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \tan x + [1 - \{f(x)\}^2 ] y = 0$ (দেখানো হলো)



গ) $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ হলে $3 + 2 f(x) + 3 \{ f(\frac{\pi}{2} - x) \}^2$ এর চরম মান নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $f(x) = \sin x$
ধরি, $y = 3 + 2 \sin x + 3 \{ \sin(\frac{\pi}{2} - x) \}^2$
$=> y = 3 + 2 \sin x + 3 \cos^2 x$
$=> y = 3 + 2 \sin x + 3(1 - \sin^2 x)$
$=> y = 6 + 2 \sin x - 3 \sin^2 x$

অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{dy}{dx} = 2 \cos x - 6 \sin x \cos x = 2 \cos x(1 - 3 \sin x)$

চরম মানের জন্য, $\frac{dy}{dx} = 0$
$=> 2 \cos x(1 - 3 \sin x) = 0$
যেহেতু ব্যবধি $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$:
১. $\cos x = 0 => x = \frac{\pi}{2}$
২. $1 - 3 \sin x = 0 => \sin x = \frac{1}{3}$

এখন বিন্দুগুলোতে $y$ এর মান নির্ণয় করি:
১. $x = 0$ হলে, $y = 6 + 2(0) - 3(0)^2 = 6$
২. $x = \frac{\pi}{2}$ হলে, $y = 6 + 2(1) - 3(1)^2 = 5$
৩. $\sin x = \frac{1}{3}$ হলে, $y = 6 + 2(\frac{1}{3}) - 3(\frac{1}{3})^2 = 6 + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{18+2-1}{3} = \frac{19}{3} \approx 6.33$

উত্তর: ব্যবধি অনুযায়ী গুরুমান $\frac{19}{3}$ এবং লঘুমান $5$।