ID#6807 HSC Higher Math 1st CQ (Sylhet 2023)

ক) $x$-অক্ষের সাথে $y = \sin x$ বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ যে কোনো একটি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

আমরা জানি, $y = \sin x$ বক্ররেখাটি $x = 0$ থেকে $x = \pi$ ব্যবধিতে $x$-অক্ষের উপরে একটি সম্পূর্ণ লুপ তৈরি করে।
আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $A$:
$A = \int_{0}^{\pi} y dx$
$=> A = \int_{0}^{\pi} \sin x dx$
$=> A = [-\cos x]_{0}^{\pi}$
$=> A = -(\cos \pi - \cos 0)$
$=> A = -(-1 - 1)$
$=> A = 2$ বর্গ একক।

উত্তর: $2$ বর্গ একক।



খ) $\int \frac{g(2x)}{\{g(x) - 1\} \{g(2x) + 1\}} dx$ নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $g(x) = e^x$, সুতরাং $g(2x) = e^{2x}$।
ধরি, $I = \int \frac{e^{2x}}{(e^x - 1)(e^{2x} + 1)} dx$

ধরি, $e^x = z$
$=> e^x dx = dz => dx = \frac{dz}{z}$

মান বসিয়ে পাই,
$I = \int \frac{z^2}{(z - 1)(z^2 + 1)} \cdot \frac{dz}{z}$
$=> I = \int \frac{z}{(z - 1)(z^2 + 1)} dz$

আংশিক ভগ্নাংশ করে পাই,
$\frac{z}{(z - 1)(z^2 + 1)} = \frac{A}{z-1} + \frac{Bz+C}{z^2+1}$
$=> z = A(z^2+1) + (Bz+C)(z-1)$
$z=1$ হলে, $1 = 2A => A = \frac{1}{2}$
$z^2$ এর সহগ সমীকৃত করে, $0 = A+B => B = -\frac{1}{2}$
ধ্রুবক পদ সমীকৃত করে, $0 = A-C => C = \frac{1}{2}$

$I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{z-1} dz - \frac{1}{2} \int \frac{z-1}{z^2+1} dz$
$=> I = \frac{1}{2} \ln|z-1| - \frac{1}{4} \int \frac{2z}{z^2+1} dz + \frac{1}{2} \int \frac{1}{z^2+1} dz$
$=> I = \frac{1}{2} \ln|e^x - 1| - \frac{1}{4} \ln(e^{2x} + 1) + \frac{1}{2} \tan^{-1}(e^x) + c$

উত্তর: $\frac{1}{2} \ln|e^x - 1| - \frac{1}{4} \ln(e^{2x} + 1) + \frac{1}{2} \tan^{-1}(e^x) + c$



গ) $\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \ln |g(x)| \sin^2 x dx$ এর মান নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $g(x) = e^x$। অতএব $\ln|g(x)| = \ln e^x = x$।
ধরি, $I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} x \sin^2 x dx$

আমরা জানি, $2 \sin^2 x = 1 - \cos 2x$
$=> I = \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi} x(1 - \cos 2x) dx$
$=> I = \frac{1}{4} \left[ \int_{0}^{\pi} x dx - \int_{0}^{\pi} x \cos 2x dx \right]$

১ম অংশ: $\int_{0}^{\pi} x dx = [\frac{x^2}{2}]_{0}^{\pi} = \frac{\pi^2}{2}$
২য় অংশ (আংশিক সমাকলন): $\int_{0}^{\pi} x \cos 2x dx = [x \cdot \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \frac{\sin 2x}{2} dx$
$=> = (0 - 0) - [-\frac{\cos 2x}{4}]_{0}^{\pi} = \frac{1}{4}(\cos 2\pi - \cos 0) = \frac{1}{4}(1 - 1) = 0$

মান বসিয়ে পাই,
$I = \frac{1}{4} (\frac{\pi^2}{2} - 0) = \frac{\pi^2}{8}$

উত্তর: $\frac{\pi^2}{8}$