ID#6813 HSC Higher Math 1st CQ (Rajshahi 2023)

ক) $y = \sqrt{\sin \sqrt{x}}$ হলে $\frac{dy}{dx}$ নির্ণয় কর।

ধরি, $y = (\sin x^{1/2})^{1/2}$
চেইন রুল প্রয়োগ করে পাই,
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(\sin \sqrt{x})^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(\sin \sqrt{x})$
$=> \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\sin \sqrt{x}}} \cdot \cos \sqrt{x} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$
$=> \frac{dy}{dx} = \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{\sin \sqrt{x}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$=> \frac{dy}{dx} = \frac{\cos \sqrt{x}}{4\sqrt{x} \sqrt{\sin \sqrt{x}}}$

উত্তর: $\frac{\cos \sqrt{x}}{4\sqrt{x \sin \sqrt{x}}}$



খ) লিমিট এর সাহায্যে $f(x) = (ax)^n$ এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $f(x) = (ax)^n = a^n x^n$
মূল নিয়ম অনুসারে,
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
$=> f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{a^n(x+h)^n - a^n x^n}{h}$
$=> f'(x) = a^n \lim_{h \to 0} \frac{x^n(1 + \frac{h}{x})^n - x^n}{h}$
$=> f'(x) = a^n x^n \lim_{h \to 0} \frac{(1 + n \cdot \frac{h}{x} + \frac{n(n-1)}{2!} \cdot \frac{h^2}{x^2} + \dots) - 1}{h}$ [দ্বিপদী বিস্তৃতি]
$=> f'(x) = a^n x^n \lim_{h \to 0} \frac{n \cdot \frac{h}{x} + \frac{n(n-1)}{2!} \cdot \frac{h^2}{x^2} + \dots}{h}$
$=> f'(x) = a^n x^n \lim_{h \to 0} (\frac{n}{x} + \frac{n(n-1)}{2!} \cdot \frac{h}{x^2} + \dots)$
$=> f'(x) = a^n x^n \cdot \frac{n}{x}$
$=> f'(x) = n a^n x^{n-1}$

উত্তর: $n a^n x^{n-1}$



গ) $g(x) = 17 - 15x + 9x^2 - x^3$ ফাংশনটি কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং বৃদ্ধি পায় তাহা নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $g(x) = 17 - 15x + 9x^2 - x^3$
অন্তরীকরণ করে পাই,
$g'(x) = -15 + 18x - 3x^2$
$=> g'(x) = -3(x^2 - 6x + 5)$
$=> g'(x) = -3(x-1)(x-5)$

১. ফাংশনটি বৃদ্ধি পাওয়ার শর্ত $g'(x) > 0$:
$-3(x-1)(x-5) > 0$
$=> (x-1)(x-5) < 0$
এটি তখনই সত্য যখন $1 < x < 5$।
অর্থাৎ, $(1, 5)$ ব্যবধিতে ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়।

২. ফাংশনটি হ্রাস পাওয়ার শর্ত $g'(x) < 0$:
$-3(x-1)(x-5) < 0$
$=> (x-1)(x-5) > 0$
এটি সত্য যখন $x < 1$ অথবা $x > 5$।
অর্থাৎ, $(-\infty, 1) \cup (5, \infty)$ ব্যবধিতে ফাংশনটি হ্রাস পায়।

উত্তর: বৃদ্ধি পায় $(1, 5)$ ব্যবধিতে এবং হ্রাস পায় $(-\infty, 1) \cup (5, \infty)$ ব্যবধিতে।