ID#6815 HSC Higher Math 1st CQ (Rajshahi 2023)

ক) দেখাও যে, $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x} - \sqrt{1-3x}}{x} = \frac{5}{2}$।

ধরি, $L = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x} - \sqrt{1-3x}}{x}$
লব ও হরকে $(\sqrt{1+2x} + \sqrt{1-3x})$ দ্বারা গুণ করে পাই,
$L = \lim_{x \to 0} \frac{(1+2x) - (1-3x)}{x(\sqrt{1+2x} + \sqrt{1-3x})}$
$=> L = \lim_{x \to 0} \frac{5x}{x(\sqrt{1+2x} + \sqrt{1-3x})}$
$=> L = \lim_{x \to 0} \frac{5}{\sqrt{1+2x} + \sqrt{1-3x}}$
এখন $x = 0$ বসিয়ে পাই,
$=> L = \frac{5}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{5}{1+1} = \frac{5}{2}$

অতএব, $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x} - \sqrt{1-3x}}{x} = \frac{5}{2}$ (দেখানো হলো)



খ) দৃশ্যকল্প-১ এ $y = f(x)$ বক্ররেখার $(2, 23)$ বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $y = 3x^2 + 2x + 7$
$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{dy}{dx} = 6x + 2$

$(2, 23)$ বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল, $m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2, 23)} = 6(2) + 2 = 14$

১. স্পর্শকের সমীকরণ:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$=> y - 23 = 14(x - 2)$
$=> y - 23 = 14x - 28$
$=> 14x - y - 5 = 0$

২. অভিলম্বের সমীকরণ:
$y - y_1 = -\frac{1}{m}(x - x_1)$
$=> y - 23 = -\frac{1}{14}(x - 2)$
$=> 14y - 322 = -x + 2$
$=> x + 14y - 324 = 0$

উত্তর: স্পর্শক $14x - y - 5 = 0$; অভিলম্ব $x + 14y - 324 = 0$



গ) দৃশ্যকল্প-২ হতে ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $g(x) = 54x - (2x - 7)^3$
অন্তরীকরণ করে পাই,
$g'(x) = 54 - 3(2x - 7)^2 \cdot 2 = 54 - 6(2x - 7)^2$
এবং $g''(x) = -6 \cdot 2(2x - 7) \cdot 2 = -24(2x - 7)$

চরম মানের জন্য $g'(x) = 0$:
$54 - 6(2x - 7)^2 = 0$
$=> (2x - 7)^2 = 9$
$=> 2x - 7 = \pm 3$
হয় $2x = 10 => x = 5$ অথবা $2x = 4 => x = 2$

১. $x = 5$ হলে, $g''(5) = -24(10 - 7) = -72 < 0$
সুতরাং $x = 5$ এ গুরুমান বিদ্যমান।
গুরুমান $= 54(5) - (2 \cdot 5 - 7)^3 = 270 - 3^3 = 270 - 27 = 243$

২. $x = 2$ হলে, $g''(2) = -24(4 - 7) = 72 > 0$
সুতরাং $x = 2$ এ লঘুমান বিদ্যমান।
লঘুমান $= 54(2) - (2 \cdot 2 - 7)^3 = 108 - (-3)^3 = 108 + 27 = 135$

উত্তর: গুরুমান $243$ এবং লঘুমান $135$।