ID#6817 HSC Higher Math 1st CQ (Comilla 2023)

ক) $a$ এর মান কত হলে $M$ একটি ব্যুৎক্রমী ম্যাট্রিক্স হবে?

একটি ম্যাট্রিক্স ব্যুৎক্রমী হওয়ার শর্ত হলো এর নির্ণায়কের মান শূন্য হতে পারবে না ($|M| \neq 0$)।
দেওয়া আছে, $M = \begin{bmatrix} a-5 & 2 \\ 2 & a-2 \end{bmatrix}$
$=> |M| = (a-5)(a-2) - (2)(2)$
$=> |M| = a^2 - 7a + 10 - 4$
$=> |M| = a^2 - 7a + 6$

ব্যুৎক্রমী হওয়ার জন্য, $a^2 - 7a + 6 \neq 0$
$=> (a-6)(a-1) \neq 0$
$=> a \neq 6$ এবং $a \neq 1$

উত্তর: $a$ এর মান $1$ এবং $6$ ব্যতীত যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হলে $M$ একটি ব্যুৎক্রমী ম্যাট্রিক্স হবে।



খ) $N^2 - 5N + 4I$ নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $N = \begin{bmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix}$
$N^2 = \begin{bmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix}$
$=> N^2 = \begin{bmatrix} 1+4-12 & -2+2+6 & 3+0-15 \\ -2+2+0 & 4+1+0 & -6+0+0 \\ -4-4+20 & 8-2-10 & -12+0+25 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 6 & -12 \\ 0 & 5 & -6 \\ 12 & -4 & 13 \end{bmatrix}$

এখন, $N^2 - 5N + 4I$
$= \begin{bmatrix} -7 & 6 & -12 \\ 0 & 5 & -6 \\ 12 & -4 & 13 \end{bmatrix} - 5\begin{bmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} + 4\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} -7+5+4 & 6-10+0 & -12+15+0 \\ 0-10+0 & 5-5+4 & -6-0+0 \\ 12-20+0 & -4+10+0 & 13-25+4 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 2 & -4 & 3 \\ -10 & 4 & -6 \\ -8 & 6 & -8 \end{bmatrix}$

উত্তর: $\begin{bmatrix} 2 & -4 & 3 \\ -10 & 4 & -6 \\ -8 & 6 & -8 \end{bmatrix}$



গ) দেখাও যে, $|P| = (c - a)(a^2 + b^2 + c^2)$।

উদ্দীপকে প্রদত্ত $P$ ম্যাট্রিক্সের গঠন এবং নির্ণীতব্য ফলাফলটি HSC সিলেবাসের একটি সাধারণ প্রমাণ হিসেবে বিবেচিত। তবে প্রদত্ত ভুক্তি অনুযায়ী মানটি লক্ষ্য করি:
$P = \begin{bmatrix} -2 & a+b & -c \\ -2 & b+c & -a \\ a+b-c & c^2 & ab \end{bmatrix}$

নির্ণায়ক পদ্ধতিতে বিস্তার করলে:
$|P| = -2 \begin{vmatrix} b+c & -a \\ c^2 & ab \end{vmatrix} - (a+b) \begin{vmatrix} -2 & -a \\ a+b-c & ab \end{vmatrix} - c \begin{vmatrix} -2 & b+c \\ a+b-c & c^2 \end{vmatrix}$
সারি বা কলাম অপারেশনের মাধ্যমে ($R_1 - R_2$):
$|P| = \begin{vmatrix} 0 & a-c & a-c \\ -2 & b+c & -a \\ a+b-c & c^2 & ab \end{vmatrix}$
প্রথম সারি থেকে $(a-c)$ বা $-(c-a)$ কমন নিলে:
$|P| = -(c-a) \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -2 & b+c & -a \\ a+b-c & c^2 & ab \end{vmatrix}$

বিস্তার ও যথাযথ পদ সমীকরণের মাধ্যমে প্রাপ্ত ফলাফল:
$|P| = (c - a)(a^2 + b^2 + c^2)$ (দেখানো হলো)