ID#6818 HSC Higher Math 1st CQ (Comilla 2023)

ক) Δ OAB এর ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
উদ্দীপকের চিত্রানুযায়ী $4x - 3y + 12 = 0$ এবং $3x - 4y - 8 = 0$ রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে হবে।
প্রথম রেখা: $4x - 3y = -12 \implies \frac{x}{-3} + \frac{y}{4} = 1$
এই রেখাটি x-অক্ষকে $A'(-3, 0)$ এবং y-অক্ষকে $(0, 4)$ বিন্দুতে ছেদ করে।
দ্বিতীয় রেখা: $3x - 4y = 8 \implies \frac{x}{8/3} + \frac{y}{-2} = 1$
এই রেখাটি x-অক্ষকে $B'(\frac{8}{3}, 0)$ এবং y-অক্ষকে $(0, -2)$ বিন্দুতে ছেদ করে।
চিত্রে A হলো দ্বিতীয় রেখার x-অক্ষ সংলগ্ন ছেদবিন্দু, $A = (\frac{8}{3}, 0)$
B হলো দ্বিতীয় রেখার y-অক্ষ সংলগ্ন ছেদবিন্দু, $B = (0, -2)$
O হলো মূলবিন্দু, $O = (0, 0)$

$\Delta OAB$ এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} |0(-2 - 0) + \frac{8}{3}(-2 - 0) + 0(0 - (-2))|$
$\implies \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} | \frac{8}{3} \times (-2) |$
$\implies \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \times \frac{16}{3}$
$\implies \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{8}{3} \text{ বর্গ একক}$

---

খ) C বিন্দুগামী এবং প্রদত্ত রেখার সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয়:
প্রথমে প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু C এর স্থানাঙ্ক বের করতে হবে।
রেখা (১): $4x - 3y + 12 = 0$
রেখা (২): $3x - 4y - 8 = 0$

বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই:
$\implies \frac{x}{(-3)(-8) - (-4)(12)} = \frac{y}{(12)(3) - (-8)(4)} = \frac{1}{(4)(-4) - (3)(-3)}$
$\implies \frac{x}{24 + 48} = \frac{y}{36 + 32} = \frac{1}{-16 + 9}$
$\implies \frac{x}{72} = \frac{y}{68} = \frac{1}{-7}$
$\implies x = -\frac{72}{7}$
$\implies y = -\frac{68}{7}$
অতএব, C বিন্দুর স্থানাঙ্ক $= (-\frac{72}{7}, -\frac{68}{7})$

এখন, $x - y + 2 = 0$ রেখার সমান্তরাল যেকোনো রেখার সমীকরণ:
$x - y + k = 0$ ... (৩)

যেহেতু (৩) নং রেখাটি C বিন্দু দিয়ে যায়:
$\implies -\frac{72}{7} - (-\frac{68}{7}) + k = 0$
$\implies -\frac{72}{7} + \frac{68}{7} + k = 0$
$\implies -\frac{4}{7} + k = 0$
$\implies k = \frac{4}{7}$

$k$ এর মান (৩) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$x - y + \frac{4}{7} = 0$
$\implies 7x - 7y + 4 = 0$

---

গ) উদ্দীপকের রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব তা প্রমাণ:
উদ্দীপকের রেখাদ্বয় হলো:
$4x - 3y + 12 = 0$ ... (১)
$3x - 4y - 8 = 0$ ... (২)

রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ:
$\frac{4x - 3y + 12}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \pm \frac{3x - 4y - 8}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$
$\implies \frac{4x - 3y + 12}{\sqrt{16 + 9}} = \pm \frac{3x - 4y - 8}{\sqrt{9 + 16}}$
$\implies \frac{4x - 3y + 12}{5} = \pm \frac{3x - 4y - 8}{5}$
$\implies 4x - 3y + 12 = \pm (3x - 4y - 8)$

(+) চিহ্ন নিয়ে পাই:
$4x - 3y + 12 = 3x - 4y - 8$
$\implies 4x - 3x - 3y + 4y + 12 + 8 = 0$
$\implies x + y + 20 = 0$ ... (৪)

(-) চিহ্ন নিয়ে পাই:
$4x - 3y + 12 = -(3x - 4y - 8)$
$\implies 4x - 3y + 12 = -3x + 4y + 8$
$\implies 4x + 3x - 3y - 4y + 12 - 8 = 0$
$\implies 7x - 7y + 4 = 0$ ... (৫)

এখন, (৪) নং সমদ্বিখন্ডক রেখার ঢাল $m_1 = -\frac{1}{1} = -1$
এবং (৫) নং সমদ্বিখন্ডক রেখার ঢাল $m_2 = -\frac{7}{-7} = 1$

ঢালদ্বয়ের গুণফল:
$m_1 \times m_2 = (-1) \times 1$
$\implies m_1 \times m_2 = -1$

যেহেতু সমদ্বিখন্ডক রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল $-1$, সেহেতু সমদ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব। (দেখানো হলো)