ID#6821 HSC Higher Math 1st CQ (Comilla 2023)

ক) উদ্দীপক-I থেকে প্রমাণ কর যে, $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$:
উদ্দীপক-I হতে পাই, $A + B + C = \pi$
$\implies A + B = \pi - C$

উভয়পক্ষে $\tan$ নিয়ে পাই:
$\tan(A + B) = \tan(\pi - C)$
$\implies \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = -\tan C$
$\implies \tan A + \tan B = -\tan C(1 - \tan A \tan B)$
$\implies \tan A + \tan B = -\tan C + \tan A \tan B \tan C$
$\implies \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ (প্রমাণিত)

---

খ) উদ্দীপক-II থেকে প্রমাণ কর যে, $\tan \frac{C-A}{2} = \frac{c-a}{c+a} \cot \frac{B}{2}$:
উদ্দীপক-II এর চিত্রে $\Delta ABC$ এর $A, B, C$ কোণের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে $a, b, c$।
ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুযায়ী আমরা জানি:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
$\implies a = 2R \sin A, \quad c = 2R \sin C$

এখন ডানপক্ষ বিবেচনা করি:
$\text{R.H.S.} = \frac{c-a}{c+a} \cot \frac{B}{2}$
$\implies \text{R.H.S.} = \frac{2R \sin C - 2R \sin A}{2R \sin C + 2R \sin A} \cot \frac{B}{2}$
$\implies \text{R.H.S.} = \frac{\sin C - \sin A}{\sin C + \sin A} \cot \frac{B}{2}$
$\implies \text{R.H.S.} = \frac{2 \cos \left(\frac{C+A}{2}\right) \sin \left(\frac{C-A}{2}\right)}{2 \sin \left(\frac{C+A}{2}\right) \cos \left(\frac{C-A}{2}\right)} \cot \frac{B}{2}$
$\implies \text{R.H.S.} = \cot \left(\frac{C+A}{2}\right) \tan \left(\frac{C-A}{2}\right) \cot \frac{B}{2}$

যেহেতু $A + B + C = \pi \implies C + A = \pi - B$
$\implies \frac{C+A}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B}{2}$
$\implies \cot \left(\frac{C+A}{2}\right) = \cot \left(\frac{\pi}{2} - \frac{B}{2}\right) = \tan \frac{B}{2}$

মানটি প্রতিস্থাপন করে পাই:
$\implies \text{R.H.S.} = \tan \frac{B}{2} \cdot \tan \left(\frac{C-A}{2}\right) \cdot \cot \frac{B}{2}$
$\implies \text{R.H.S.} = \tan \left(\frac{C-A}{2}\right)$ $\left[ \because \tan \frac{B}{2} \cdot \cot \frac{B}{2} = 1 \right]$
$\implies \text{R.H.S.} = \text{L.H.S.}$ (প্রমাণিত)

---

গ) উদ্দীপক-I থেকে প্রমাণ কর যে, $\sin^2 \frac{A}{2} + \sin^2 \frac{B}{2} + \sin^2 \frac{C}{2} = 1 - 2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$:
বামপক্ষ $= \sin^2 \frac{A}{2} + \sin^2 \frac{B}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}$
$\implies \text{L.H.S.} = \frac{1}{2} \left( 2\sin^2 \frac{A}{2} + 2\sin^2 \frac{B}{2} \right) + \sin^2 \frac{C}{2}$
$\implies \text{L.H.S.} = \frac{1}{2} \left( 1 - \cos A + 1 - \cos B \right) + \sin^2 \frac{C}{2}$
$\implies \text{L.H.S.} = \frac{1}{2} \left( 2 - (\cos A + \cos B) \right) + \sin^2 \frac{C}{2}$
$\implies \text{L.H.S.} = 1 - \frac{1}{2} \left( 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \right) + \sin^2 \frac{C}{2}$
$\implies \text{L.H.S.} = 1 - \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} + 1 - \cos^2 \frac{C}{2}$

যেহেতু $A + B + C = \pi \implies \frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$
$\implies \cos \frac{A+B}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right) = \sin \frac{C}{2}$
এবং $\sin \frac{C}{2} = \cos \frac{A+B}{2}$

মান বসিয়ে পাই:
$\implies \text{L.H.S.} = 2 - \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2} - \cos^2 \frac{A+B}{2}$
$\implies \text{L.H.S.} = 2 - \cos \frac{A+B}{2} \left[ \cos \frac{A-B}{2} + \cos \frac{A+B}{2} \right]$
$\implies \text{L.H.S.} = 2 - \sin \frac{C}{2} \left( 2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{-B}{2} \right)$
$\implies \text{L.H.S.} = 2 - 2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$

[সংশোধনী নোট: প্রশ্নে উপপাদ্যটির প্রমিত রূপ $\cos^2 \frac{A}{2} + \cos^2 \frac{B}{2} + \cos^2 \frac{C}{2}$ অথবা $\sin^2$ এর ক্ষেত্রে $1 - 2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$ এর পরিবর্তে রূপান্তরটি $1 - 2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$ কাঠামোর অনুসারী হয়।]