ID#6822 HSC Higher Math 1st CQ (Comilla 2023)

ক) $x$ এর সাপেক্ষে $(\cos^{-1} \sqrt{x})$ এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

ধরি, $y = \cos^{-1} \sqrt{x}$
$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$
$=> \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$=> \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{x(1 - x)}}$
$=> \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{x - x^2}}$

উত্তর: $-\frac{1}{2\sqrt{x - x^2}}$

---

খ) উদ্দীপকের আলোকে মূল নিয়মে $f(x) = \ln(x)$ এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $f(x) = \ln x$
অন্তরজের সংজ্ঞা হতে পাই,
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
$=> f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h) - \ln x}{h}$
$=> f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(\frac{x+h}{x})}{h}$
$=> f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1 + \frac{h}{x})}{h}$

আমরা জানি, $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \dots$
$=> f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} [(\frac{h}{x}) - \frac{1}{2}(\frac{h}{x})^2 + \frac{1}{3}(\frac{h}{x})^3 - \dots]$
$=> f'(x) = \lim_{h \to 0} [\frac{1}{x} - \frac{h}{2x^2} + \frac{h^2}{3x^3} - \dots]$
এখন $h = 0$ বসিয়ে পাই,
$=> f'(x) = \frac{1}{x}$

উত্তর: $\frac{1}{x}$

---

গ) $z = \{g(x)\}^m$ হলে উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, $(1 + x^2) \frac{d^2 z}{dx^2} + x \frac{dz}{dx} - m^2 z = 0$।

দেওয়া আছে, $g(x) = (x + \sqrt{1 + x^2})$
সুতরাং, $z = (x + \sqrt{1 + x^2})^m$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{dz}{dx} = m(x + \sqrt{1 + x^2})^{m-1} \cdot (1 + \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x)$
$=> \frac{dz}{dx} = m(x + \sqrt{1 + x^2})^{m-1} \cdot \frac{\sqrt{1+x^2} + x}{\sqrt{1+x^2}}$
$=> \frac{dz}{dx} = \frac{m(x + \sqrt{1 + x^2})^m}{\sqrt{1+x^2}}$
$=> \frac{dz}{dx} = \frac{mz}{\sqrt{1+x^2}}$
$=> \sqrt{1+x^2} \frac{dz}{dx} = mz$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
$(1+x^2) (\frac{dz}{dx})^2 = m^2 z^2$

পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$(1+x^2) \cdot 2(\frac{dz}{dx})(\frac{d^2 z}{dx^2}) + 2x(\frac{dz}{dx})^2 = m^2 \cdot 2z(\frac{dz}{dx})$
উভয়পক্ষকে $2(\frac{dz}{dx})$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$(1+x^2) \frac{d^2 z}{dx^2} + x \frac{dz}{dx} = m^2 z$
$=> (1 + x^2) \frac{d^2 z}{dx^2} + x \frac{dz}{dx} - m^2 z = 0$

(প্রমাণিত)