ID#6823 HSC Higher Math 1st CQ (Comilla 2023)

ক) $\int \frac{dx}{e^x + e^{-x}}$ এর যোগজ নির্ণয় কর।

ধরি, $I = \int \frac{dx}{e^x + \frac{1}{e^x}}$
$=> I = \int \frac{e^x}{e^{2x} + 1} dx$

ধরি, $e^x = z$
$=> e^x dx = dz$

মান বসিয়ে পাই,
$I = \int \frac{dz}{z^2 + 1}$
$=> I = \tan^{-1}(z) + c$
$=> I = \tan^{-1}(e^x) + c$

উত্তর: $\tan^{-1}(e^x) + c$

---

খ) উদ্দীপকের আলোকে $\int \frac{d\theta}{1 - \{ P(\frac{\pi}{2} - \theta) \}}$ এর মান নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $P(x) = \cos x$
সুতরাং, $P(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$

ধরি, $I = \int \frac{d\theta}{1 - \sin \theta}$
লব ও হরকে $(1 + \sin \theta)$ দ্বারা গুণ করে পাই,
$I = \int \frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin^2 \theta} d\theta$
$=> I = \int \frac{1 + \sin \theta}{\cos^2 \theta} d\theta$
$=> I = \int (\frac{1}{\cos^2 \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}) d\theta$
$=> I = \int (\sec^2 \theta + \sec \theta \tan \theta) d\theta$
$=> I = \tan \theta + \sec \theta + c$

উত্তর: $\tan \theta + \sec \theta + c$

---

গ) উদ্দীপকের আলোকে $Q(x, y) = 0$ এবং $L = 0$ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $Q(x, y) = x^2 + y^2 - 25$ এবং $L = x - 3$
শর্তমতে, $x^2 + y^2 = 5^2$ (একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র $(0,0)$ এবং ব্যাসার্ধ $5$)
এবং $x = 3$ (একটি সরলরেখা যা $Y$-অক্ষের সমান্তরাল)

আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $A$:
$A = 2 \int_{3}^{5} y dx$
এখানে $y = \sqrt{25 - x^2}$

$A = 2 \int_{3}^{5} \sqrt{5^2 - x^2} dx$
আমরা জানি, $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$
$=> A = 2 [\frac{x\sqrt{25-x^2}}{2} + \frac{25}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{5})]_3^5$
$=> A = [x\sqrt{25-x^2} + 25 \sin^{-1}(\frac{x}{5})]_3^5$
$=> A = (5\sqrt{0} + 25 \sin^{-1}(1)) - (3\sqrt{25-9} + 25 \sin^{-1}(\frac{3}{5}))$
$=> A = 25 \cdot \frac{\pi}{2} - (3 \cdot 4 + 25 \sin^{-1}(0.6))$
$=> A = \frac{25\pi}{2} - 12 - 25 \sin^{-1}(0.6)$

উত্তর: $(\frac{25\pi}{2} - 12 - 25 \sin^{-1} 0.6)$ বর্গ একক।






5
x=3
x²+y²=25

চিত্র: বৃত্ত $x^2 + y^2 = 25$ এবং সরলরেখা $x = 3$ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশটি ছায়াযুক্ত করা হয়েছে।