ID#6825 HSC Higher Math 1st CQ (Jessore 2023)

ক) $AB$ সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিতংশের ত্রিখন্ডন বিন্দু নির্ণয় কর।

উদ্দীপক হতে পাই, $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(5, 0)$ এবং $B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0, 7)$।
ধরি, $AB$ রেখাকে $1:2$ এবং $2:1$ অনুপাতে অন্তরবিভক্তকারী বিন্দুই হলো ত্রিখন্ডন বিন্দু।

১ম বিন্দুর স্থানাঙ্ক ($1:2$ অনুপাতে):
$x = \frac{1(0) + 2(5)}{1+2} = \frac{10}{3}$
$y = \frac{1(7) + 2(0)}{1+2} = \frac{7}{3}$

২য় বিন্দুর স্থানাঙ্ক ($2:1$ অনুপাতে):
$x = \frac{2(0) + 1(5)}{2+1} = \frac{5}{3}$
$y = \frac{2(7) + 1(0)}{2+1} = \frac{14}{3}$

উত্তর: ত্রিখন্ডন বিন্দুদ্বয় $(\frac{10}{3}, \frac{7}{3})$ এবং $(\frac{5}{3}, \frac{14}{3})$।

---

খ) $(7, 9)$ বিন্দুগামী এবং $AB$ রেখার সাথে $45^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

$A(5, 0)$ ও $B(0, 7)$ বিন্দুগামী রেখার ঢাল, $m_1 = \frac{7 - 0}{0 - 5} = -\frac{7}{5}$
ধরি, নির্ণেয় রেখার ঢাল $m$। শর্তমতে,
$\tan 45^\circ = \pm \frac{m - m_1}{1 + m m_1}$
$=> 1 = \pm \frac{m - (-7/5)}{1 + m(-7/5)} = \pm \frac{5m + 7}{5 - 7m}$

ধনাত্মক (+) চিহ্ন নিয়ে: $5 - 7m = 5m + 7 => 12m = -2 => m = -1/6$
ঋণাত্মক (-) চিহ্ন নিয়ে: $5 - 7m = -5m - 7 => 2m = 12 => m = 6$

১ম সমীকরণ ($m = -1/6$): $y - 9 = -\frac{1}{6}(x - 7) => x + 6y - 61 = 0$
২য় সমীকরণ ($m = 6$): $y - 9 = 6(x - 7) => 6x - y - 33 = 0$

উত্তর: $x + 6y - 61 = 0$ এবং $6x - y - 33 = 0$।

---

গ) $D$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

চিত্রানুসারে $D$ বিন্দুটি $AB$ রেখা এবং $CD$ রেখার ছেদবিন্দু।
$A(5, 0)$ ও $B(0, 7)$ বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ:
$\frac{x}{5} + \frac{y}{7} = 1 => 7x + 5y - 35 = 0 \cdots (i)$

চিত্র হতে দেখা যায় $CD$ রেখাটি মূলবিন্দুগামী (যেহেতু এটি $C(-4, 5)$ হতে $AB$ এর দিকে অগ্রসর হচ্ছে এবং মূলবিন্দুর কাছাকাছি অবস্থান নির্দেশ করছে)।
যদি $CD$ রেখাটি $AB$ এর উপর লম্ব হয় (চিত্রের সাধারণ বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী):
$AB$ এর লম্ব রেখার সমীকরণ: $5x - 7y + k = 0$
এটি $C(-4, 5)$ বিন্দুগামী: $5(-4) - 7(5) + k = 0 => k = 55$
সুতরাং $CD$ রেখার সমীকরণ: $5x - 7y + 55 = 0 \cdots (ii)$

$(i)$ ও $(ii)$ সমাধান করে পাই:
$7x + 5y = 35$ (গুণ ৭) $=> 49x + 35y = 245$
$5x - 7y = -55$ (গুণ ৫) $=> 25x - 35y = -275$
যোগ করে, $74x = -30 => x = -\frac{15}{37}$
$y = \frac{7x - 35}{-5} = \frac{7(-15/37) - 35}{-5} = \frac{280}{37}$

নির্ণেয় D বিন্দুর স্থানাঙ্ক: $(-\frac{15}{37}, \frac{280}{37})$।