ID#6827 HSC Higher Math 1st CQ (Jessore 2023)

ক) $r = \cos \theta - \sin \theta$ বৃত্তটির কেন্দ্র নির্ণয় কর।

পোলার সমীকরণটিকে কার্তেসীয় সমীকরণে রূপান্তরের জন্য উভয়পক্ষকে $r$ দ্বারা গুণ করি:
$r^2 = r \cos \theta - r \sin \theta$
আমরা জানি, $r^2 = x^2 + y^2$, $x = r \cos \theta$ এবং $y = r \sin \theta$।
$=> x^2 + y^2 = x - y$
$=> x^2 + y^2 - x + y = 0$

এখানে, $2g = -1 => g = -1/2$ এবং $2f = 1 => f = 1/2$।
বৃত্তের কেন্দ্র $(-g, -f) = (1/2, -1/2)$।

উত্তর: কেন্দ্র $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$।

---

খ) $(ii)$ ও $(iii)$ নং সরলরেখার মধ্যবর্তী স্থূলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

রেখাদ্বয়:
$4x + 3y + 7 = 0 \cdots (ii)$
$2x - 5y + 1 = 0 \cdots (iii)$

এখানে ধ্রুবক পদদ্বয় ($7$ ও $1$) ধনাত্মক।
এখন, $a_1 a_2 + b_1 b_2 = (4)(2) + (3)(-5) = 8 - 15 = -7$।
যেহেতু $a_1 a_2 + b_1 b_2 < 0$, সেহেতু ঋণাত্মক $(-)$ চিহ্ন নিয়ে সূক্ষ্মকোণের এবং ধনাত্মক $(+)$ চিহ্ন নিয়ে স্থূলকোণের সমদ্বিখন্ডক পাওয়া যাবে।

স্থূলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ:
$\frac{4x + 3y + 7}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = + \frac{2x - 5y + 1}{\sqrt{2^2 + (-5)^2}}$
$=> \frac{4x + 3y + 7}{5} = \frac{2x - 5y + 1}{\sqrt{29}}$
$=> \sqrt{29}(4x + 3y + 7) = 5(2x - 5y + 1)$
$=> 4\sqrt{29}x + 3\sqrt{29}y + 7\sqrt{29} = 10x - 25y + 5$
$=> (4\sqrt{29} - 10)x + (3\sqrt{29} + 25)y + (7\sqrt{29} - 5) = 0$

উত্তর: $(4\sqrt{29} - 10)x + (3\sqrt{29} + 25)y + 7\sqrt{29} - 5 = 0$।

---

গ) $(ii)$ নং রেখার উপর লম্ব এবং $(i)$ নং বৃত্তকে স্পর্শ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 + 6x - 6y - 31 = 0$
কেন্দ্র $C = (-3, 3)$
ব্যাসার্ধ $R = \sqrt{3^2 + (-3)^2 - (-31)} = \sqrt{9 + 9 + 31} = \sqrt{49} = 7$ একক।

$(ii)$ নং রেখা $4x + 3y + 7 = 0$ এর উপর লম্ব যেকোনো রেখার সমীকরণ:
$3x - 4y + k = 0 \cdots (iv)$

যদি $(iv)$ নং রেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে, তবে কেন্দ্র $(-3, 3)$ হতে রেখাটির লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধ $7$ এর সমান হবে।
$\left| \frac{3(-3) - 4(3) + k}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right| = 7$
$=> \left| \frac{-9 - 12 + k}{5} \right| = 7$
$=> |k - 21| = 35$
$=> k - 21 = \pm 35$

হয় $k = 35 + 21 = 56$, অথবা $k = -35 + 21 = -14$।
$(iv)$ নং এ $k$ এর মান বসিয়ে পাই:
$3x - 4y + 56 = 0$ এবং $3x - 4y - 14 = 0$।

উত্তর: $3x - 4y + 56 = 0$ এবং $3x - 4y - 14 = 0$।