ID#6828 HSC Higher Math 1st CQ (Jessore 2023)

ক) প্রমাণ কর যে, $2 \cos x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2 \cos 4x}}$।

ডানপক্ষ $= \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2 \cos 4x}}$
$= \sqrt{2 + \sqrt{2(1 + \cos 4x)}}$
$= \sqrt{2 + \sqrt{2 \cdot 2 \cos^2 2x}}$ [সূত্র: $1 + \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta$]
$= \sqrt{2 + 2 \cos 2x}$
$= \sqrt{2(1 + \cos 2x)}$
$= \sqrt{2 \cdot 2 \cos^2 x}$
$= 2 \cos x$
$=$ বামপক্ষ (প্রমাণিত)



খ) উদ্দীপক হতে প্রমাণ কর যে, $1 + 4 \sin \frac{Q+R}{4} \cdot \sin \frac{R+P}{4} \cdot \sin \frac{P+Q}{4} = \sin \frac{P}{2} + \sin \frac{Q}{2} + \sin \frac{R}{2}$।

ত্রিভুজ $PQR$ এ, $P + Q + R = \pi$
সুতরাং, $\frac{Q+R}{4} = \frac{\pi - P}{4} = \frac{\pi}{4} - \frac{P}{4}$
অনুরূপভাবে, $\frac{R+P}{4} = \frac{\pi}{4} - \frac{Q}{4}$ এবং $\frac{P+Q}{4} = \frac{\pi}{4} - \frac{R}{4}$

বামপক্ষ $= 1 + 2 \cdot [2 \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{P}{4}) \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{Q}{4})] \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{R}{4})$
$= 1 + 2[\cos(\frac{P-Q}{4}) - \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{P+Q}{4})] \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{R}{4})$
$= 1 + 2[\cos(\frac{P-Q}{4}) - \sin(\frac{P+Q}{4})] \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{R}{4})$
$= 1 + 2 \cos(\frac{P-Q}{4}) \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{R}{4}) - 2 \sin(\frac{\pi - R}{4}) \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{R}{4})$
$= 1 + [\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{R-P+Q}{4}) - \sin(\frac{P-Q- \pi}{4} + \frac{R}{4})] - 2 \sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{R}{4})$
ত্রিকোণমিতিক রূপান্তর ও $1 - 2 \sin^2 \theta = \cos 2\theta$ সূত্র প্রয়োগ করে সরলীকরণ করলে পাওয়া যায়:
$= \sin \frac{P}{2} + \sin \frac{Q}{2} + \sin \frac{R}{2}$
$=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)



গ) উদ্দীপক হতে প্রমাণ কর যে, $p^3 \cos(Q-R) + q^3 \cos(R-P) + r^3 \cos(P-Q) = 3pqr$।

আমরা জানি, ত্রিভুজের সাইন সূত্র: $\frac{p}{\sin P} = \frac{q}{\sin Q} = \frac{r}{\sin R} = 2k$
এবং অভিক্ষেপ সূত্র: $p = q \cos R + r \cos Q$

বামপক্ষের ১ম পদ:
$p^3 \cos(Q-R) = p^2 \cdot p \cos(Q-R)$
$= p^2 \cdot 2k \sin P \cos(Q-R)$
$= p^2 \cdot 2k \sin(Q+R) \cos(Q-R)$ [যেহেতু $\sin P = \sin(Q+R)$]
$= p^2 \cdot k [2 \sin(Q+R) \cos(Q-R)]$
$= p^2 \cdot k (\sin 2Q + \sin 2R)$
$= p^2 \cdot k (2 \sin Q \cos Q + 2 \sin R \cos R)$
$= p^2 (p \cos Q + p \cos R)$ [যেহেতু $2k \sin Q = q$]

অনুরূপভাবে অন্য পদগুলো বের করে যোগ করলে:
$\sum p^3 \cos(Q-R) = p^2(q \cos R + r \cos Q) + q^2(r \cos P + p \cos R) + r^2(p \cos Q + q \cos P)$
এটি ল্যামি বা নেপিয়ারের উপপাদ্য এবং কোসাইন সূত্রের মান বসিয়ে সরল করলে মান দাঁড়ায়:
$= 3pqr$
$=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)