ID#6829 HSC Higher Math 1st CQ (Jessore 2023)

ক) $\lim_{x \to a} \frac{x^{3/2} - a^{3/2}}{\sqrt{x} - \sqrt{a}}$ এর মান নির্ণয় কর।

ধরি, $L = \lim_{x \to a} \frac{(x^{1/2})^3 - (a^{1/2})^3}{x^{1/2} - a^{1/2}}$
আমরা জানি, $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
$=> L = \lim_{x \to a} \frac{(x^{1/2} - a^{1/2})\{(x^{1/2})^2 + x^{1/2}a^{1/2} + (a^{1/2})^2\}}{x^{1/2} - a^{1/2}}$
$=> L = \lim_{x \to a} (x + \sqrt{ax} + a)$
এখন $x = a$ বসিয়ে পাই,
$=> L = a + \sqrt{a \cdot a} + a$
$=> L = a + a + a = 3a$

উত্তর: $3a$

---

খ) লিমিটের সাহায্যে $f(x) = a^{5x}$ এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $f(x) = a^{5x}$
অন্তরজের মূল নিয়ম অনুসারে,
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
$=> f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{a^{5(x+h)} - a^{5x}}{h}$
$=> f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{a^{5x} \cdot a^{5h} - a^{5x}}{h}$
$=> f'(x) = a^{5x} \lim_{h \to 0} \frac{a^{5h} - 1}{h}$

আমরা জানি, $a^u = 1 + u \ln a + \frac{(u \ln a)^2}{2!} + \dots$
$=> f'(x) = a^{5x} \lim_{h \to 0} \frac{\{1 + 5h \ln a + \frac{(5h \ln a)^2}{2!} + \dots\} - 1}{h}$
$=> f'(x) = a^{5x} \lim_{h \to 0} \frac{5h \ln a + \frac{25h^2 (\ln a)^2}{2} + \dots}{h}$
$=> f'(x) = a^{5x} \lim_{h \to 0} (5 \ln a + \frac{25h (\ln a)^2}{2} + \dots)$
$=> f'(x) = a^{5x} \cdot 5 \ln a = 5 a^{5x} \ln a$

উত্তর: $5 a^{5x} \ln a$

---

গ) প্রমাণ কর যে, $g(x) = 0$ বক্ররেখার যে কোনো বিন্দুতে স্পর্শক দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খণ্ডিতংশের যোগফল একটি ধ্রুবক।

দেওয়া আছে, $g(x) = \sqrt{\frac{x}{2a}} + \sqrt{\frac{y}{2a}} - 1 = 0$
$=> \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2a}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2a}} = 1$
$=> \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{2a} \cdots \cdots (i)$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0$
$=> \frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$

ধরি, বক্ররেখার উপর যেকোনো বিন্দু $(x_1, y_1)$। উক্ত বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল $m = -\frac{\sqrt{y_1}}{\sqrt{x_1}}$।
স্পর্শকের সমীকরণ:
$y - y_1 = -\frac{\sqrt{y_1}}{\sqrt{x_1}}(x - x_1)$
$=> y\sqrt{x_1} - y_1\sqrt{x_1} = -x\sqrt{y_1} + x_1\sqrt{y_1}$
$=> x\sqrt{y_1} + y\sqrt{x_1} = x_1\sqrt{y_1} + y_1\sqrt{x_1}$
$=> x\sqrt{y_1} + y\sqrt{x_1} = \sqrt{x_1y_1}(\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1})$
$(i)$ নং হতে $\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1} = \sqrt{2a}$ বসিয়ে পাই,
$=> x\sqrt{y_1} + y\sqrt{x_1} = \sqrt{x_1y_1} \cdot \sqrt{2a}$
উভয়পক্ষকে $\sqrt{x_1y_1} \sqrt{2a}$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$=> \frac{x}{\sqrt{x_1}\sqrt{2a}} + \frac{y}{\sqrt{y_1}\sqrt{2a}} = 1$

এখানে, $X$-অক্ষের খণ্ডিতংশ $p = \sqrt{x_1}\sqrt{2a}$ এবং $Y$-অক্ষের খণ্ডিতংশ $q = \sqrt{y_1}\sqrt{2a}$।
খণ্ডিতংশদ্বয়ের যোগফল $= p + q$
$= \sqrt{2a}(\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1})$
$= \sqrt{2a} \cdot \sqrt{2a}$ [$(i)$ নং হতে]
$= 2a$, যা একটি ধ্রুবক। (প্রমাণিত)