ID#6830 HSC Higher Math 1st CQ (Jessore 2023)

ক) $\int \sin 9x \sin 11x dx$ নির্ণয় কর।

ধরি, $I = \int \sin 9x \sin 11x dx$
$=> I = \frac{1}{2} \int 2 \sin 11x \sin 9x dx$
আমরা জানি, $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$
$=> I = \frac{1}{2} \int (\cos(11x-9x) - \cos(11x+9x)) dx$
$=> I = \frac{1}{2} \int (\cos 2x - \cos 20x) dx$
$=> I = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2x}{2} - \frac{\sin 20x}{20} \right] + c$
$=> I = \frac{\sin 2x}{4} - \frac{\sin 20x}{40} + c$

উত্তর: $\frac{\sin 2x}{4} - \frac{\sin 20x}{40} + c$

---

খ) দৃশ্যকল্প-১ ব্যবহার করে $\int_0^4 f(x) dx$ নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $f(x) = \frac{1}{(4+x^2)^{3/2}}$
ধরি, $I = \int_0^4 \frac{1}{(4+x^2)^{3/2}} dx$
ধরি, $x = 2 \tan \theta => dx = 2 \sec^2 \theta d\theta$
সীমা পরিবর্তন:
যখন $x = 0$, $\tan \theta = 0 => \theta = 0$
যখন $x = 4$, $\tan \theta = 2 => \theta = \tan^{-1}(2)$

$I = \int_0^{\tan^{-1} 2} \frac{2 \sec^2 \theta d\theta}{(4 + 4 \tan^2 \theta)^{3/2}}$
$=> I = \int_0^{\tan^{-1} 2} \frac{2 \sec^2 \theta d\theta}{(4 \sec^2 \theta)^{3/2}}$
$=> I = \int_0^{\tan^{-1} 2} \frac{2 \sec^2 \theta d\theta}{8 \sec^3 \theta} = \frac{1}{4} \int_0^{\tan^{-1} 2} \frac{1}{\sec \theta} d\theta$
$=> I = \frac{1}{4} \int_0^{\tan^{-1} 2} \cos \theta d\theta = \frac{1}{4} [\sin \theta]_0^{\tan^{-1} 2}$

যদি $\tan \theta = \frac{2}{1}$, তবে অতিভুজ $= \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$।
সুতরাং $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$।
$=> I = \frac{1}{4} [\frac{2}{\sqrt{5}} - 0] = \frac{1}{2\sqrt{5}}$

উত্তর: $\frac{1}{2\sqrt{5}}$

---

গ) দৃশ্যকল্প-২ এর বৃত্ত ও সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $x^2 + y^2 = 64$ বা $x^2 + y^2 = 8^2$ এবং $y = 5$।
ছেদবিন্দু নির্ণয়: $x^2 + 5^2 = 64 => x^2 = 39 => x = \pm \sqrt{39}$।
আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল $A$:
$A = \int_{-\sqrt{39}}^{\sqrt{39}} (y_{upper} - y_{lower}) dx$
$=> A = 2 \int_0^{\sqrt{39}} (\sqrt{64 - x^2} - 5) dx$
$=> A = 2 \left[ \frac{x\sqrt{64-x^2}}{2} + \frac{64}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{8}) - 5x \right]_0^{\sqrt{39}}$
$=> A = \left[ x\sqrt{64-x^2} + 64 \sin^{-1}(\frac{x}{8}) - 10x \right]_0^{\sqrt{39}}$
$=> A = \sqrt{39} \cdot 5 + 64 \sin^{-1}(\frac{\sqrt{39}}{8}) - 10\sqrt{39}$
$=> A = 64 \sin^{-1}(\frac{\sqrt{39}}{8}) - 5\sqrt{39}$

উত্তর: $64 \sin^{-1}(\frac{\sqrt{39}}{8}) - 5\sqrt{39}$ বর্গ একক।






y=5
x²+y²=64

চিত্র: বৃত্ত $x^2 + y^2 = 64$ এবং সরলরেখা $y = 5$ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতর ক্ষেত্রটি ছায়াযুক্ত করা হয়েছে।