ID#6832 HSC Higher Math 1st CQ (Dinajpur 2023)

ক) $\begin{bmatrix} x-5 & 8 \\ -1 & y+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y-1 & 8 \\ -1 & 7 \end{bmatrix}$ হলে $(x, y)$ এর মান নির্ণয় কর।

ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে অনুরূপ ভুক্তিগুলো সমান হবে।
$y + 3 = 7$
$=> y = 7 - 3$
$=> y = 4$

আবার, $x - 5 = y - 1$
$=> x - 5 = 4 - 1$ [$y = 4$ বসিয়ে]
$=> x - 5 = 3$
$=> x = 8$

উত্তর: $(x, y) = (8, 4)$

---

খ) $A^{-1}$ নির্ণয় কর।

$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -4 \\ 5 & 2 & -3 \end{bmatrix}$
$|A| = 2(-3 + 8) + 1(-9 + 20) + 1(6 - 5)$
$=> |A| = 2(5) + 1(11) + 1(1)$
$=> |A| = 10 + 11 + 1 = 22 \neq 0$

সহগুণকসমূহ:
$A_{11} = 5, A_{12} = -(-11) = 11, A_{13} = 1$
$A_{21} = -(3 - 2) = -1, A_{22} = -6 - 5 = -11, A_{23} = -(4 + 5) = -9$
$A_{31} = 4 - 1 = 3, A_{32} = -(-8 - 3) = 11, A_{33} = 2 + 3 = 5$

$\text{Adj}(A) = \begin{bmatrix} 5 & -1 & 3 \\ 11 & -11 & 11 \\ 1 & -9 & 5 \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A) = \frac{1}{22} \begin{bmatrix} 5 & -1 & 3 \\ 11 & -11 & 11 \\ 1 & -9 & 5 \end{bmatrix}$

উত্তর: $\frac{1}{22} \begin{bmatrix} 5 & -1 & 3 \\ 11 & -11 & 11 \\ 1 & -9 & 5 \end{bmatrix}$

---

গ) প্রমাণ কর যে, $|B| = -2(p-q)(q-r)(p-r)(pq+qr+rp)$।

$|B| = \begin{vmatrix} p^2 & qr & 2p \\ q^2 & rp & 2q \\ r^2 & pq & 2r \end{vmatrix}$
$C_3$ থেকে $2$ সাধারণ উৎপাদক নিয়ে এবং $R_1, R_2, R_3$ কে যথাক্রমে $p, q, r$ দ্বারা গুণ করে (বাইরে $1/pqr$ নিয়ে):
$|B| = \frac{2}{pqr} \begin{vmatrix} p^3 & pqr & p^2 \\ q^3 & pqr & q^2 \\ r^3 & pqr & r^2 \end{vmatrix}$
$C_2$ থেকে $pqr$ সাধারণ উৎপাদক নিয়ে পাই:
$|B| = 2 \begin{vmatrix} p^3 & 1 & p^2 \\ q^3 & 1 & q^2 \\ r^3 & 1 & r^2 \end{vmatrix}$
$C_1$ ও $C_2$ এবং পরে $C_2$ ও $C_3$ বিনিময় করে (দুইবার চিহ্নের পরিবর্তন $(-1)^2 = 1$):
$|B| = 2 \begin{vmatrix} 1 & p^2 & p^3 \\ 1 & q^2 & q^3 \\ 1 & r^2 & r^3 \end{vmatrix}$
$R_1' = R_1 - R_2$ এবং $R_2' = R_2 - R_3$ প্রয়োগ করে:
$|B| = 2 \begin{vmatrix} 0 & p^2-q^2 & p^3-q^3 \\ 0 & q^2-r^2 & q^3-r^3 \\ 1 & r^2 & r^3 \end{vmatrix}$
$=> |B| = 2(p-q)(q-r) \begin{vmatrix} p+q & p^2+pq+q^2 \\ q+r & q^2+qr+r^2 \end{vmatrix}$
$=> |B| = 2(p-q)(q-r) [(p+q)(q^2+qr+r^2) - (q+r)(p^2+pq+q^2)]$
সরলীকরণের পর পাওয়া যায়:
$|B| = 2(p-q)(q-r)(p-r)(-(pq+qr+rp))$
$=> |B| = -2(p-q)(q-r)(p-r)(pq+qr+rp)$

(প্রমাণিত)