ID#6834 HSC Higher Math 1st CQ (Dinajpur 2023)

ক) $x^2 + y^2 - 4y = 0$ সমীকরণকে পোলার সমীকরণে প্রকাশ:
আমরা জানি, কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের সম্পর্ক হলো:
$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ এবং $x^2 + y^2 = r^2$

প্রদত্ত কার্তেসীয় সমীকরণ: $x^2 + y^2 - 4y = 0$
$x^2 + y^2$ এবং $y$ এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই:
$r^2 - 4(r \sin \theta) = 0$
$\implies r(r - 4\sin \theta) = 0$

যেহেতু $r \neq 0$ (মূলবিন্দু ব্যতীত), সেহেতু:
$r - 4\sin \theta = 0$
$\implies r = 4\sin \theta$
এটিই নির্ণেয় পোলার সমীকরণ।

---

খ) দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে AB রেখার সমীকরণ নির্ণয়:
দৃশ্যকল্প-১ এর চিত্রে দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করেছে। রেখা দুটি হলো:
$4x + 3y + 6 = 0$ ... (১)
$2x + by + 4 = 0$ ... (২)

চিত্রানুযায়ী, (১) নং রেখাটি X-অক্ষকে A বিন্দুতে ছেদ করে।
X-অক্ষের উপর $y = 0$, তাই (১) নং সমীকরণে $y = 0$ বসিয়ে পাই:
$4x + 3(0) + 6 = 0$
$\implies 4x = -6$
$\implies x = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$
অতএব, A বিন্দুর স্থানাঙ্ক $= (-\frac{3}{2}, 0)$

আবার, চিত্রানুযায়ী (২) নং রেখাটি Y-অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করে।
Y-অক্ষের উপর $x = 0$, তাই (২) নং সমীকরণে $x = 0$ বসিয়ে পাই:
$2(0) + by + 4 = 0$
$\implies by = -4$
$\implies y = -\frac{4}{b}$
অতএব, B বিন্দুর স্থানাঙ্ক $= (0, -\frac{4}{b})$

চিত্রে দেখা যাচ্ছে যে, রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুটি অক্ষদ্বয়ের মূলবিন্দু $O(0,0)$ এর উপর অবস্থিত।
যেহেতু (১) ও (২) নং রেখাদ্বয় মূলবিন্দু $O(0,0)$ দিয়ে যায়, তাই (১) নং সমীকরণ অনুসারে:
$4(0) + 3(0) + 6 \neq 0$ (যা চিত্রের জ্যামিতিক অসঙ্গতি নির্দেশ করে)।
বিকল্পভাবে, চিত্র অনুসারে $AB$ রেখাটি মূলত A এবং B বিন্দুগামী সরলরেখা।
সাধারণভাবে ছেদবিন্দু মূলবিন্দু না ধরে চিত্র থেকে অক্ষদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী $AB$ সরলরেখার সমীকরণ বের করতে হবে।
A এবং B বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ:
$\frac{x}{x_A} + \frac{y}{y_B} = 1$
$\implies \frac{x}{-3/2} + \frac{y}{-4/b} = 1$
$\implies -\frac{2x}{3} - \frac{by}{4} = 1$
$\implies 8x + 3by + 12 = 0$

---

গ) দৃশ্যকল্প-২ এর সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশকে সমত্রিখণ্ডিত করে এমন বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোগক রেখার সমীকরণ নির্ণয়:
দৃশ্যকল্প-২ এর সরলরেখার সমীকরণ: $3x + 4y - 24 = 0$
$\implies 3x + 4y = 24$
$\implies \frac{3x}{24} + \frac{4y}{24} = 1$
$\implies \frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 1$ ... (১)

অতএব, রেখাটি X-অক্ষকে $P(8, 0)$ এবং Y-অক্ষকে $Q(0, 6)$ বিন্দুতে ছেদ করে। অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশ হলো $PQ$।
ধরি, $PQ$ রেখাংশকে সমত্রিখণ্ডিতকারী বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে $R$ এবং $S$।
$R$ বিন্দুটি $PQ$ কে $1:2$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
$R$ এর স্থানাঙ্ক $= \left( \frac{1 \times 0 + 2 \times 8}{1 + 2}, \frac{1 \times 6 + 2 \times 0}{1 + 2} \right) = \left( \frac{16}{3}, \frac{6}{3} \right) = \left( \frac{16}{3}, 2 \right)$

$S$ বিন্দুটি $PQ$ কে $2:1$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
$S$ এর স্থানাঙ্ক $= \left( \frac{2 \times 0 + 1 \times 8}{2 + 1}, \frac{2 \times 6 + 1 \times 0}{2 + 1} \right) = \left( \frac{8}{3}, \frac{12}{3} \right) = \left( \frac{8}{3}, 4 \right)$

এখন, মূলবিন্দু $O(0,0)$ এবং $R\left(\frac{16}{3}, 2\right)$ এর সংযোগক রেখার সমীকরণ:
$y = \frac{2}{16/3} x$
$\implies y = \frac{6}{16} x$
$\implies y = \frac{3}{8} x$
$\implies 3x - 8y = 0$

আবার, মূলবিন্দু $O(0,0)$ এবং $S\left(\frac{8}{3}, 4\right)$ এর সংযোগক রেখার সমীকরণ:
$y = \frac{4}{8/3} x$
$\implies y = \frac{12}{8} x$
$\implies y = \frac{3}{2} x$
$\implies 3x - 2y = 0$

নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ: $3x - 8y = 0$ এবং $3x - 2y = 0$