ID#6835 HSC Higher Math 1st CQ (Dinajpur 2023)

ক) $(2, -3)$ বিন্দু হতে $2x^2 + 2y^2 = 8$ বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণকে আদর্শ আকারে প্রকাশ করে পাই:
$x^2 + y^2 - 4 = 0$

এখানে, স্পর্শকের দৈর্ঘ্য $L = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 - a^2}$
প্রদত্ত বিন্দু $(x_1, y_1) = (2, -3)$ বৃত্তের সমীকরণের বামপক্ষে বসিয়ে পাই:
$L = \sqrt{2^2 + (-3)^2 - 4}$
$=> L = \sqrt{4 + 9 - 4}$
$=> L = \sqrt{9}$
$=> L = 3$

উত্তর: $3$ একক।

---

খ) দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র $(7, 0)$ এবং $(i)$ নং বৃত্ত এবং $(ii)$ নং রেখার ছেদবিন্দু দিয়ে যায়।

প্রদত্ত বৃত্ত: $x^2 + y^2 - 6x = 0 \cdots (i)$
প্রদত্ত রেখা: $x - 4 = 0 \cdots (ii)$

$(i)$ ও $(ii)$ নং এর ছেদবিন্দুগামী যেকোনো বৃত্তের সমীকরণ:
$(x^2 + y^2 - 6x) + k(x - 4) = 0$
$=> x^2 + y^2 + x(k - 6) - 4k = 0 \cdots (iii)$

$(iii)$ নং বৃত্তের কেন্দ্র $= \left( -\frac{k-6}{2}, 0 \right) = \left( \frac{6-k}{2}, 0 \right)$

শর্তানুসারে, বৃত্তটির কেন্দ্র $(7, 0)$। অতএব,
$\frac{6-k}{2} = 7$
$=> 6 - k = 14$
$=> k = 6 - 14$
$=> k = -8$

$k$ এর মান $(iii)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$x^2 + y^2 + x(-8 - 6) - 4(-8) = 0$
$=> x^2 + y^2 - 14x + 32 = 0$

উত্তর: $x^2 + y^2 - 14x + 32 = 0$

---

গ) দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্ত দুটির সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।

প্রদত্ত বৃত্তদ্বয়:
$S_1 \equiv x^2 + y^2 + 6x + 4y + 6 = 0$
$S_2 \equiv x^2 + y^2 + 4x + 2y + 2 = 0$

বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ ($S_1 - S_2 = 0$):
$(6x - 4x) + (4y - 2y) + (6 - 2) = 0$
$=> 2x + 2y + 4 = 0$
$=> x + y + 2 = 0 \cdots (iv)$

সাধারণ জ্যা-গামী যেকোনো বৃত্তের সমীকরণ ($S_1 + kL = 0$):
$(x^2 + y^2 + 6x + 4y + 6) + k(x + y + 2) = 0$
$=> x^2 + y^2 + x(6 + k) + y(4 + k) + (6 + 2k) = 0 \cdots (v)$

$(v)$ নং বৃত্তের কেন্দ্র $= \left( -\frac{6+k}{2}, -\frac{4+k}{2} \right)$

যেহেতু সাধারণ জ্যা-টি নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাস, সেহেতু বৃত্তের কেন্দ্রটি জ্যা এর সমীকরণ $(iv)$ নং রেখার উপর অবস্থিত হবে:
$\left( -\frac{6+k}{2} \right) + \left( -\frac{4+k}{2} \right) + 2 = 0$
$=> -\frac{6+k+4+k}{2} + 2 = 0$
$=> -\frac{2k+10}{2} + 2 = 0$
$=> -(k+5) + 2 = 0$
$=> -k - 5 + 2 = 0$
$=> -k - 3 = 0$
$=> k = -3$

$k$ এর মান $(v)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$x^2 + y^2 + x(6 - 3) + y(4 - 3) + (6 + 2(-3)) = 0$
$=> x^2 + y^2 + 3x + y + 0 = 0$
$=> x^2 + y^2 + 3x + y = 0$

উত্তর: $x^2 + y^2 + 3x + y = 0$