ID#6836 HSC Higher Math 1st CQ (Jessore 2023)

ক) $\tan \theta = \frac{3}{4}$ এবং $\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$ হলে, $\csc(-\theta) + \sec(-\theta)$ এর মান নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $\theta$ তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত ($\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$)।
তৃতীয় চতুর্ভাগে $\tan$ ও $\cot$ ধনাত্মক, কিন্তু $\sin, \cos, \csc, \sec$ ঋণাত্মক।

আমরা জানি, $\csc(-\theta) = -\csc \theta$ এবং $\sec(-\theta) = \sec \theta$
$\tan \theta = \frac{3}{4} \implies$ লম্ব $= 3$, ভূমি $= 4$, অতিভুজ $= \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

যেহেতু $\theta$ তৃতীয় চতুর্ভাগে, তাই:
$\csc \theta = -\frac{5}{3}$
$\sec \theta = -\frac{5}{4}$

প্রদত্ত রাশি $= \csc(-\theta) + \sec(-\theta)$
$= -\csc \theta + \sec \theta$
$= -(-\frac{5}{3}) + (-\frac{5}{4})$
$= \frac{5}{3} - \frac{5}{4}$
$= \frac{20 - 15}{12}$
$= \frac{5}{12}$

উত্তর: $\frac{5}{12}$

---

খ) $f(\alpha) + f(\beta) = a$ এবং $f(\frac{\pi}{2}-\alpha) + f(\frac{\pi}{2}-\beta) = b$ হলে প্রমাণ কর যে, $\sin \frac{\alpha+\beta}{2} = \pm \frac{b}{\sqrt{a^2 +b^2 }}$।

দেওয়া আছে, $f(x) = \cos x$
১ম শর্ত: $\cos \alpha + \cos \beta = a$
$=> 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} = a \cdots\cdots (i)$

২য় শর্ত: $\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha) + \cos(\frac{\pi}{2}-\beta) = b$
$=> \sin \alpha + \sin \beta = b$
$=> 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} = b \cdots\cdots (ii)$

$(i)$ ও $(ii)$ নং সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করে পাই:
$\left(2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}\right)^2 + \left(2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}\right)^2 = a^2 + b^2$
$=> 4 \cos^2 \frac{\alpha-\beta}{2} \left(\cos^2 \frac{\alpha+\beta}{2} + \sin^2 \frac{\alpha+\beta}{2}\right) = a^2 + b^2$
$=> 4 \cos^2 \frac{\alpha-\beta}{2} \cdot 1 = a^2 + b^2$
$=> 4 \cos^2 \frac{\alpha-\beta}{2} = a^2 + b^2 \cdots\cdots (iii)$

এখন, $(ii)$ নং সমীকরণকে বর্গ করে পাই:
$4 \sin^2 \frac{\alpha+\beta}{2} \cos^2 \frac{\alpha-\beta}{2} = b^2$
$(iii)$ নং হতে $4 \cos^2 \frac{\alpha-\beta}{2}$ এর মান বসিয়ে পাই:
$\sin^2 \frac{\alpha+\beta}{2} (a^2 + b^2) = b^2$
$=> \sin^2 \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{b^2}{a^2 + b^2}$
$=> \sin \frac{\alpha+\beta}{2} = \pm \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

(প্রমাণিত)

---

গ) $\angle A$ এর সাহায্যে $\Delta ABC$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-২ এর চিত্র হতে পাই:
$b = AC = 4$
$c = AB = 3$
$a = BC = \sqrt{13}$

কোসাইন সূত্রানুসারে,
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
$=> \cos A = \frac{4^2 + 3^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \cdot 4 \cdot 3}$
$=> \cos A = \frac{16 + 9 - 13}{24}$
$=> \cos A = \frac{12}{24}$
$=> \cos A = \frac{1}{2}$
$=> \cos A = \cos 60^\circ$
$=> A = 60^\circ$

আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A$
$=> \Delta = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sin 60^\circ$
$=> \Delta = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$=> \Delta = 3\sqrt{3}$

উত্তর: $\angle A = 60^\circ$ এবং ক্ষেত্রফল $3\sqrt{3}$ বর্গ একক।





A
B
C

3
4
√13


60°

চিত্র: উদ্দীপকের প্রদত্ত বাহুর দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট $\Delta ABC$ এবং এর নির্ণীত কোণ $\angle A = 60^\circ$।