ID#6838 HSC Higher Math 1st CQ (Dinajpur 2023)

ক) $x$ এর সাপেক্ষে $\cos^{-1} \frac{1-x^2}{1+x^2}$ এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

আমরা জানি, ত্রিকোণমিতিক সূত্রানুসারে, $\cos^{-1} \frac{1-x^2}{1+x^2} = 2 \tan^{-1} x$

ধরি, $y = 2 \tan^{-1} x$
এখন, $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+x^2}$
$=> \frac{dy}{dx} = \frac{2}{1+x^2}$

উত্তর: $\frac{2}{1+x^2}$

---

খ) প্রমাণ কর যে, $f(x) + f(y) = f(c)$ বক্ররেখার $(a, b)$ বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক কর্তৃক অক্ষদ্বয় হতে কর্তিত অংশের যোগফল $c$।

উদ্দীপক হতে পাই, $f(x) = \sqrt{x}$
সুতরাং বক্ররেখার সমীকরণ: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{c} \cdots\cdots (i)$

যেহেতু বক্ররেখাটি $(a, b)$ বিন্দুগামী, সেহেতু বিন্দুটি দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে:
$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{c} \cdots\cdots (ii)$

$(i)$ নং সমীকরণকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0$
$=> \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$=> \frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$

$(a, b)$ বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল, $m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(a, b)} = -\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$

$(a, b)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
$y - b = -\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}(x - a)$
$=> y\sqrt{a} - b\sqrt{a} = -x\sqrt{b} + a\sqrt{b}$
$=> x\sqrt{b} + y\sqrt{a} = a\sqrt{b} + b\sqrt{a}$
$=> x\sqrt{b} + y\sqrt{a} = \sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})$

$(ii)$ নং হতে $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{c}$ মান বসিয়ে পাই,
$x\sqrt{b} + y\sqrt{a} = \sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{c}$

উভয়পক্ষকে $\sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{c}$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$\frac{x}{\sqrt{a}\sqrt{c}} + \frac{y}{\sqrt{b}\sqrt{c}} = 1$

অতএব, স্পর্শক দ্বারা $X$-অক্ষের কর্তিত অংশ $p = \sqrt{a}\sqrt{c}$ এবং $Y$-অক্ষের কর্তিত অংশ $q = \sqrt{b}\sqrt{c}$।
কর্তিত অংশদ্বয়ের যোগফল $= p + q$
$= \sqrt{a}\sqrt{c} + \sqrt{b}\sqrt{c}$
$= \sqrt{c}(\sqrt{a} + \sqrt{b})$
$= \sqrt{c} \cdot \sqrt{c}$ [$(ii)$ নং হতে]
$= c$

(প্রমাণিত)

---

গ) $y = 1 + 2h(x) + 3[1 - \{h(x)\}^2]$ ফাংশনটির $[0, \frac{\pi}{2}]$ ব্যবধিতে চরম মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপক হতে পাই, $h(x) = \sin x$
সুতরাং প্রদত্ত ফাংশন: $y = 1 + 2\sin x + 3(1 - \sin^2 x)$
$=> y = 1 + 2\sin x + 3 - 3\sin^2 x$
$=> y = -3\sin^2 x + 2\sin x + 4$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$y_1 = \frac{dy}{dx} = -6\sin x \cos x + 2\cos x$
$=> y_1 = 2\cos x (1 - 3\sin x)$

এবং দ্বিতীয় অন্তরজ,
$y_2 = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-3\sin 2x + 2\cos x) = -6\cos 2x - 2\sin x$

চরম মানের (গুরুমান বা লঘুমান) জন্য $y_1 = 0$:
$2\cos x (1 - 3\sin x) = 0$

প্রদত্ত ব্যবধি $[0, \frac{\pi}{2}]$ এ $\cos x \neq 0$ (ব্যবধির প্রান্তবিন্দু ছাড়া)।
সুতরাং, $1 - 3\sin x = 0$
$=> \sin x = \frac{1}{3}$
$=> x = \sin^{-1}(\frac{1}{3})$, যা $[0, \frac{\pi}{2}]$ ব্যবধির অভ্যন্তরে অবস্থিত।

যখন $\sin x = \frac{1}{3}$, তখন $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2(\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$।
$y_2$ এর মান যাচাই:
$y_2 = -6(\frac{7}{9}) - 2(\frac{1}{3}) = -\frac{14}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{16}{3} < 0$
যেহেতু $y_2 < 0$, তাই $x = \sin^{-1}(\frac{1}{3})$ বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান।

নির্ণেয় গুরুমান $= -3(\frac{1}{3})^2 + 2(\frac{1}{3}) + 4$
$= -3(\frac{1}{9}) + \frac{2}{3} + 4$
$= -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + 4$
$= \frac{1}{3} + 4 = \frac{13}{3}$

ব্যবধির প্রান্তিক মানসমূহ যাচাই:
$x = 0$ হলে, $y = -3(0)^2 + 2(0) + 4 = 4$
$x = \frac{\pi}{2}$ হলে, $y = -3(1)^2 + 2(1) + 4 = -3 + 2 + 4 = 3$

সুতরাং প্রদত্ত ব্যবধিতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ চরম মান (গুরুমান) $\frac{13}{3}$ এবং সর্বনিম্ন মান $3$।

উত্তর: চরম মান (গুরুমান) $\frac{13}{3}$।