ID#6840 HSC Higher Math 1st CQ (Barisal 2023)

ক) $M = \begin{bmatrix} 2 \\ 9 \\ -3 \end{bmatrix}, N = \begin{bmatrix} -3 & 5 & 6 \end{bmatrix}$ হলে $[MN]^T$ নির্ণয় কর।

প্রথমে ম্যাট্রিক্স $MN$ নির্ণয় করি:
$MN = \begin{bmatrix} 2 \\ 9 \\ -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & 5 & 6 \end{bmatrix}$
$=> MN = \begin{bmatrix} 2(-3) & 2(5) & 2(6) \\ 9(-3) & 9(5) & 9(6) \\ -3(-3) & -3(5) & -3(6) \end{bmatrix}$
$=> MN = \begin{bmatrix} -6 & 10 & 12 \\ -27 & 45 & 54 \\ 9 & -15 & -18 \end{bmatrix}$

এখন বিম্ব (Transpose) ম্যাট্রিক্স $[MN]^T$ নির্ণয় করি:
$[MN]^T = \begin{bmatrix} -6 & -27 & 9 \\ 10 & 45 & -15 \\ 12 & 54 & -18 \end{bmatrix}$

উত্তর: $\begin{bmatrix} -6 & -27 & 9 \\ 10 & 45 & -15 \\ 12 & 54 & -18 \end{bmatrix}$

---

খ) $t = 1, u = 2, v = 3$ হলে ক্রেমারের নিয়মে সমীকরণ জোটের সমাধান কর।

উদ্দীপকের সমীকরণ জোটে $t, u, v$ এর মান বসিয়ে পাই:
$x + 2y + 3z = 5$
$x + 4y + 9z = 5$
$(1-1)x + (8-1)y + (27-1)z = -5 \implies 0x + 7y + 26z = -5$

প্রধান নির্ণায়ক, $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \\ 0 & 7 & 26 \end{vmatrix}$
$=> D = 1(104 - 63) - 2(26 - 0) + 3(7 - 0)$
$=> D = 41 - 52 + 21 = 10$

$D_x = \begin{vmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 5 & 4 & 9 \\ -5 & 7 & 26 \end{vmatrix} = 5(104 - 63) - 2(130 - (-45)) + 3(35 - (-20))$
$=> D_x = 5(41) - 2(175) + 3(55) = 205 - 350 + 165 = 20$

$D_y = \begin{vmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 1 & 5 & 9 \\ 0 & -5 & 26 \end{vmatrix} = 1(130 - (-45)) - 5(26 - 0) + 3(-5 - 0)$
$=> D_y = 175 - 130 - 15 = 30$

$D_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 5 \\ 0 & 7 & -5 \end{vmatrix} = 1(-20 - 35) - 2(-5 - 0) + 5(7 - 0)$
$=> D_z = -55 + 10 + 35 = -10$

ক্রেমারের নিয়ম অনুসারে:
$x = \frac{D_x}{D} = \frac{20}{10} = 2$
$y = \frac{D_y}{D} = \frac{30}{10} = 3$
$z = \frac{D_z}{D} = \frac{-10}{10} = -1$

সমাধান: $(x, y, z) = (2, 3, -1)$

---

গ) $x, y, z$ এর সহগগুলো দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক $D$ হলে প্রমাণ কর, $D = (tuv - 1)(t - u)(u - v)(v - t)$।

প্রদত্ত সমীকরণ জোটের সহগগুলো দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক:
$D = \begin{vmatrix} t & u & v \\ t^2 & u^2 & v^2 \\ t^3-1 & u^3-1 & v^3-1 \end{vmatrix}$

নির্ণায়কের ধর্ম অনুযায়ী ৩য় সারিকে বিযুক্ত করে দুটি নির্ণায়কে প্রকাশ করি:
$D = \begin{vmatrix} t & u & v \\ t^2 & u^2 & v^2 \\ t^3 & u^3 & v^3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} t & u & v \\ t^2 & u^2 & v^2 \\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix}$
$=> D = tuv \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ t & u & v \\ t^2 & u^2 & v^2 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} t & u & v \\ t^2 & u^2 & v^2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

২য় নির্ণায়কের সারিগুলো বিনিময় করে প্রথমটির মতো সাজিয়ে পাই (দুইবার সারি বিনিময়ে চিহ্ন অপরিবর্তিত থাকে):
$D = tuv \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ t & u & v \\ t^2 & u^2 & v^2 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ t & u & v \\ t^2 & u^2 & v^2 \end{vmatrix}$
$=> D = (tuv - 1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ t & u & v \\ t^2 & u^2 & v^2 \end{vmatrix}$

এখন, $C_1' = C_1 - C_2$ এবং $C_2' = C_2 - C_3$ প্রয়োগ করে পাই:
$D = (tuv - 1) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ t-u & u-v & v \\ t^2-u^2 & u^2-v^2 & v^2 \end{vmatrix}$
$=> D = (tuv - 1) \{(t-u)(u^2-v^2) - (u-v)(t^2-u^2)\}$
$=> D = (tuv - 1) \{(t-u)(u-v)(u+v) - (u-v)(t-u)(t+u)\}$
$=> D = (tuv - 1)(t-u)(u-v) \{(u+v) - (t+u)\}$
$=> D = (tuv - 1)(t-u)(u-v)(v-t)$

(প্রমাণিত)