ID#6841 HSC Higher Math 1st CQ (Barisal 2023)

ক) $(-1, -1)$ বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

ধরি, বিন্দুটির কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক $(x, y) = (-1, -1)$
বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।

পোলার স্থানাঙ্ক $(r, \theta)$ হলে,
$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

এবং তৃতীয় চতুর্ভাগে কোণ,
$\theta = -\pi + \tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right| = -\pi + \tan^{-1}\left|\frac{-1}{-1}\right|$
$=> \theta = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$

[অথবা, ধনাত্মক কোণ বিবেচনা করলে: $\theta = \pi + \tan^{-1}(1) = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$]

উত্তর: $\left(\sqrt{2}, -\frac{3\pi}{4}\right)$ বা $\left(\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4}\right)$

---

খ) $(i)$ নং রেখা হতে $2$ একক দূরবর্তী এবং $(ii)$ নং রেখার উপর অবস্থিত বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

প্রদত্ত রেখাদ্বয়:
$12x - 5y + 26 = 0 \cdots\cdots (i)$
$x + 5y - 13 = 0 \cdots\cdots (ii)$

$(ii)$ নং রেখার উপর যেকোনো বিন্দুর ভুজ $x = \alpha$ ধরলে, কোটি $y = \frac{13 - \alpha}{5}$।
অতএব, বিন্দুটির স্থানাঙ্ক $P\left(\alpha, \frac{13 - \alpha}{5}\right)$।

প্রশ্নানুসারে, $P$ বিন্দু হতে $(i)$ নং রেখার লম্ব দূরত্ব $2$ একক।
$=> \left| \frac{12(\alpha) - 5\left(\frac{13 - \alpha}{5}\right) + 26}{\sqrt{12^2 + (-5)^2}} \right| = 2$
$=> \left| \frac{12\alpha - (13 - \alpha) + 26}{\sqrt{144 + 25}} \right| = 2$
$=> \left| \frac{13\alpha + 13}{13} \right| = 2$
$=> \left| \alpha + 1 \right| = 2$

ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই:
$\alpha + 1 = 2 \implies \alpha = 1$
তখন কোটি, $y = \frac{13 - 1}{5} = \frac{12}{5}$

ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই:
$\alpha + 1 = -2 \implies \alpha = -3$
তখন কোটি, $y = \frac{13 - (-3)}{5} = \frac{16}{5}$

উত্তর: বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক $\left(1, \frac{12}{5}\right)$ এবং $\left(-3, \frac{16}{5}\right)$।

---

গ) 'খ' হতে প্রাপ্ত বিন্দুদ্বয় কোনো ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দু হলে এবং ত্রিভুজটির লম্ববিন্দু $\left(-\frac{9}{25}, \frac{9}{5}\right)$ হলে ত্রিভুজটির তৃতীয় শীর্ষের স্থানাঙ্ক কত?

ধরি, ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু তিনটি $C(x_1, y_1)$ এবং 'খ' হতে প্রাপ্ত $D\left(1, \frac{12}{5}\right)$ ও $E\left(-3, \frac{16}{5}\right)$।
প্রদত্ত লম্ববিন্দু $O\left(-\frac{9}{25}, \frac{9}{5}\right)$।

আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষ হতে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বসমূহ লম্ববিন্দুতে ছেদ করে।
অতএব, $CD \perp OE$ এবং $CE \perp OD$।

প্রথমে $OE$ রেখার ঢাল ($m_{OE}$) নির্ণয় করি:
$m_{OE} = \frac{\frac{16}{5} - \frac{9}{5}}{-3 - \left(-\frac{9}{25}\right)} = \frac{\frac{7}{5}}{-\frac{66}{25}} = \frac{7}{5} \times \left(-\frac{25}{66}\right) = -\frac{35}{66}$

যেহেতু $CD \perp OE$, সেহেতু $CD$ রেখার ঢাল ($m_{CD}$) হবে:
$m_{CD} = -\frac{1}{m_{OE}} = \frac{66}{35}$

আবার, $C(x_1, y_1)$ ও $D\left(1, \frac{12}{5}\right)$ বিন্দুগামী রেখার ঢাল:
$\frac{y_1 - \frac{12}{5}}{x_1 - 1} = \frac{66}{35}$
$=> \frac{5y_1 - 12}{5(x_1 - 1)} = \frac{66}{35}$
$=> \frac{5y_1 - 12}{x_1 - 1} = \frac{66}{7}$
$=> 35y_1 - 84 = 66x_1 - 66$
$=> 66x_1 - 35y_1 + 18 = 0 \cdots\cdots (iii)$

এবার $OD$ রেখার ঢাল ($m_{OD}$) নির্ণয় করি:
$m_{OD} = \frac{\frac{12}{5} - \frac{9}{5}}{1 - \left(-\frac{9}{25}\right)} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{34}{25}} = \frac{3}{5} \times \frac{25}{34} = \frac{15}{34}$

যেহেতু $CE \perp OD$, সেহেতু $CE$ রেখার ঢাল ($m_{CE}$) হবে:
$m_{CE} = -\frac{1}{m_{OD}} = -\frac{34}{15}$

$C(x_1, y_1)$ ও $E\left(-3, \frac{16}{5}\right)$ বিন্দুগামী রেখার ঢাল:
$\frac{y_1 - \frac{16}{5}}{x_1 + 3} = -\frac{34}{15}$
$=> \frac{5y_1 - 16}{5(x_1 + 3)} = -\frac{34}{15}$
$=> \frac{5y_1 - 16}{x_1 + 3} = -\frac{34}{3}$
$=> 15y_1 - 48 = -34x_1 - 102$
$=> 34x_1 + 15y_1 + 54 = 0 \cdots\cdots (iv)$

এখন $(iii)$ ও $(iv)$ নং সমীকরণ বজ্রগুণন করে পাই:
$\frac{x_1}{(-35)(54) - (15)(18)} = \frac{y_1}{(18)(34) - (54)(66)} = \frac{1}{(66)(15) - (34)(-35)}$
$=> \frac{x_1}{-1890 - 270} = \frac{y_1}{612 - 3564} = \frac{1}{990 + 1190}$
$=> \frac{x_1}{-2160} = \frac{y_1}{-2952} = \frac{1}{2180}$

$=> x_1 = \frac{-2160}{2180} = -\frac{108}{109}$
$=> y_1 = \frac{-2952}{2180} = -\frac{738}{545}$

উত্তর: তৃতীয় শীর্ষের স্থানাঙ্ক $\left(-\frac{108}{109}, -\frac{738}{545}\right)$।