ID#6842 HSC Higher Math 1st CQ (Barisal 2023)

ক) $2x^2 + 2y^2 = 0$ বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ: $2x^2 + 2y^2 = 0$
উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে আদর্শ আকারে প্রকাশ করি:
$x^2 + y^2 = 0$
$=> (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 0^2$

এটি একটি বিন্দু বৃত্ত (Point Circle)।
সুতরাং, বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(0, 0)$ এবং ব্যাসার্ধ $0$ একক।

উত্তর: কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(0, 0)$ এবং ব্যাসার্ধ $0$ একক।

---

খ) $A$ ও $B$ বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $(1, 0)$ ও $(9, 0)$ হলে $C$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের চিত্রানুসারে, $C$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি $X$-অক্ষকে $A(1, 0)$ ও $B(9, 0)$ বিন্দুতে ছেদ করে।
অতএব, বৃত্তের ব্যাস $AB$ এর মধ্যবিন্দুর ভুজ হবে কেন্দ্রের ভুজ।
কেন্দ্রের ভুজ, $h = \frac{1 + 9}{2} = 5$

যেহেতু বৃত্তটি $X$-অক্ষকে ছেদ করে এবং চিত্র অনুযায়ী এটি $X$-অক্ষের উপর অবস্থিত ($C$ এর কোটি বের করতে হবে):
ধরি বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$
যেহেতু কেন্দ্র $(h, k) = (-g, -f)$, তাই $-g = 5 \implies g = -5$।

বৃত্তটি $X$-অক্ষ থেকে $AB$ অংশ খণ্ডন করে।
আমরা জানি, $X$-অক্ষের খণ্ডিতংশের দৈর্ঘ্য $= 2\sqrt{g^2 - c}$
$=> 2\sqrt{(-5)^2 - c} = 9 - 1$
$=> 2\sqrt{25 - c} = 8$
$=> \sqrt{25 - c} = 4$
$=> 25 - c = 16$
$=> c = 9$

আবার চিত্রানুসারে, বৃত্তটি $Y$-অক্ষকে স্পর্শ করে (স্পর্শবিন্দু $D(0,3)$ এর অবস্থান এবং বৃত্তের পরিধি লক্ষণীয়)।
$Y$-অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত: $f^2 = c$
$=> f^2 = 9 \implies f = \pm 3$
চিত্র হতে দেখা যায় বৃত্তের কেন্দ্রটি ১ম চতুর্ভাগে অবস্থিত, তাই কেন্দ্রের কোটি ধনাত্মক হবে, অর্থাৎ $-f > 0 \implies f = -3$।

সুতরাং, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
$x^2 + y^2 + 2(-5)x + 2(-3)y + 9 = 0$
$=> x^2 + y^2 - 10x - 6y + 9 = 0$

উত্তর: $x^2 + y^2 - 10x - 6y + 9 = 0$

---

গ) $BD$ এর সমান্তরাল রেখা উদ্দীপকের বৃত্তকে যে বিন্দুতে স্পর্শ করে তা নির্ণয় কর।

'খ' হতে প্রাপ্ত বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 - 10x - 6y + 9 = 0$
কেন্দ্র $C = (5, 3)$ এবং ব্যাসার্ধ $R = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2 - 9} = \sqrt{25 + 9 - 9} = 5$ একক।

উদ্দীপক হতে বিন্দুদ্বয়: $B(9, 0)$ এবং $D(0, 3)$।
$BD$ রেখার ঢাল, $m = \frac{3 - 0}{0 - 9} = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$

$BD$ এর সমান্তরাল যেকোনো স্পর্শকের ঢালও হবে $m = -\frac{1}{3}$।
ঢাল $m$ বিশিষ্ট স্পর্শকের সমীকরণ: $y - 3 = m(x - 5) \pm R\sqrt{1 + m^2}$
$=> y - 3 = -\frac{1}{3}(x - 5) \pm 5\sqrt{1 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2}$
$=> 3y - 9 = -x + 5 \pm 15\sqrt{1 + \frac{1}{9}}$
$=> x + 3y - 14 = \pm 15\frac{\sqrt{10}}{3}$
$=> x + 3y - 14 = \pm 5\sqrt{10}$

স্পর্শবিন্দু নির্ণয়ের জন্য, আমরা জানি স্পর্শবিন্দুতে কেন্দ্রের লম্ব রেখা (অভিলম্ব) স্পর্শককে ছেদ করে।
$BD$ এর সমান্তরাল স্পর্শকের লম্ব অভিলম্বের ঢাল $m' = -\frac{1}{m} = 3$।
কেন্দ্র $(5, 3)$ গামী অভিলম্বের সমীকরণ:
$y - 3 = 3(x - 5)$
$=> y - 3 = 3x - 15$
$=> 3x - y - 12 = 0 \implies y = 3x - 12$

এই $y$ এর মান বৃত্তের সমীকরণে বসিয়ে স্পর্শবিন্দু পাই:
$x^2 + (3x - 12)^2 - 10x - 6(3x - 12) + 9 = 0$
$=> x^2 + 9x^2 - 72x + 144 - 10x - 18x + 72 + 9 = 0$
$=> 10x^2 - 100x + 225 = 0$
$=> 2x^2 - 20x + 45 = 0$

দ্বিঘাত সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
$x = \frac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4(2)(45)}}{2(2)}$
$=> x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 360}}{4} = \frac{20 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{20 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 5 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$

যখন $x = 5 + \frac{\sqrt{10}}{2}$, তখন $y = 3\left(5 + \frac{\sqrt{10}}{2}\right) - 12 = 3 + \frac{3\sqrt{10}}{2}$
যখন $x = 5 - \frac{\sqrt{10}}{2}$, তখন $y = 3\left(5 - \frac{\sqrt{10}}{2}\right) - 12 = 3 - \frac{3\sqrt{10}}{2}$

উত্তর: স্পর্শবিন্দুদ্বয় $\left(5 + \frac{\sqrt{10}}{2}, 3 + \frac{3\sqrt{10}}{2}\right)$ এবং $\left(5 - \frac{\sqrt{10}}{2}, 3 - \frac{3\sqrt{10}}{2}\right)$।