ID#6844 HSC Higher Math 1st CQ (Barisal 2023)

ক) দেখাও যে, $\sin 29^\circ + \cos 29^\circ = \sqrt{2} \cos 16^\circ$।

বামপক্ষ $= \sin 29^\circ + \cos 29^\circ$
$= \sin 29^\circ + \sin(90^\circ - 61^\circ)$ [$\because \cos \theta = \sin(90^\circ - \theta)$]
$= \sin 29^\circ + \sin 61^\circ$
$= 2 \sin \frac{61^\circ + 29^\circ}{2} \cos \frac{61^\circ - 29^\circ}{2}$ [সূত্র: $\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$]
$= 2 \sin \frac{90^\circ}{2} \cos \frac{32^\circ}{2}$
$= 2 \sin 45^\circ \cos 16^\circ$
$= 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 16^\circ$
$= \sqrt{2} \cos 16^\circ$
$=$ ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

---

খ) দৃশ্যকল্প-১ এ $a^4 + b^4 + c^4 = 2b^2 (a^2 + c^2)$ হলে দেখাও যে, $\angle B = 45^\circ$ বা $135^\circ$।

দেওয়া আছে, $a^4 + b^4 + c^4 = 2b^2 a^2 + 2b^2 c^2$
$=> a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2 b^2 - 2b^2 c^2 = 0$
$=> (a^2)^2 + (-b^2)^2 + (c^2)^2 + 2(a^2)(-b^2) + 2(-b^2)(c^2) + 2(c^2)(a^2) - 2c^2 a^2 = 0$
$=> (a^2 - b^2 + c^2)^2 - 2a^2 c^2 = 0$ [$\because (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx$]
$=> (a^2 + c^2 - b^2)^2 = 2a^2 c^2$
$=> a^2 + c^2 - b^2 = \pm \sqrt{2} ac$

উভয়পক্ষকে $2ac$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$=> \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \pm \frac{\sqrt{2} ac}{2ac}$
আমরা জানি, কোসাইন সূত্রানুসারে $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
$=> \cos B = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

হয়, $\cos B = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \cos B = \cos 45^\circ \implies B = 45^\circ$
অথবা, $\cos B = -\frac{1}{\sqrt{2}} \implies \cos B = \cos(180^\circ - 45^\circ) = \cos 135^\circ \implies B = 135^\circ$

অতএব, $\angle B = 45^\circ$ বা $135^\circ$ (দেখানো হলো)

---

গ) দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, $\cos(\alpha + \beta) = \pm \frac{P}{\sqrt{P^2 + Q^2}}$।

দেওয়া আছে,
$\sin 2\alpha = Q - \sin 2\beta \implies \sin 2\alpha + \sin 2\beta = Q \cdots\cdots (i)$
$\cos 2\beta = P - \cos 2\alpha \implies \cos 2\alpha + \cos 2\beta = P \cdots\cdots (ii)$

$(i)$ নং সমীকরণ হতে পাই,
$2 \sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) = Q \cdots\cdots (iii)$

$(ii)$ নং সমীকরণ হতে পাই,
$2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) = P \cdots\cdots (iv)$

এখন $(iii)$ নং ও $(iv)$ নং সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করে পাই,
$\{2 \sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta)\}^2 + \{2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta)\}^2 = Q^2 + P^2$
$=> 4 \sin^2(\alpha + \beta) \cos^2(\alpha - \beta) + 4 \cos^2(\alpha + \beta) \cos^2(\alpha - \beta) = P^2 + Q^2$
$=> 4 \cos^2(\alpha - \beta) \{\sin^2(\alpha + \beta) + \cos^2(\alpha + \beta)\} = P^2 + Q^2$
$=> 4 \cos^2(\alpha - \beta) \cdot 1 = P^2 + Q^2$
$=> 4 \cos^2(\alpha - \beta) = P^2 + Q^2 \cdots\cdots (v)$

আবার, $(iv)$ নং সমীকরণকে বর্গ করে পাই,
$4 \cos^2(\alpha + \beta) \cos^2(\alpha - \beta) = P^2$
$=> \cos^2(\alpha + \beta) \{4 \cos^2(\alpha - \beta)\} = P^2$

$(v)$ নং হতে মান বসিয়ে পাই,
$=> \cos^2(\alpha + \beta) (P^2 + Q^2) = P^2$
$=> \cos^2(\alpha + \beta) = \frac{P^2}{P^2 + Q^2}$
$=> \cos(\alpha + \beta) = \pm \frac{P}{\sqrt{P^2 + Q^2}}$

(প্রমাণিত)