ID#6845 HSC Higher Math 1st CQ (Barisal 2023)

ক) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{2x^2}$ এর মান নির্ণয় কর।

ধরি, $L = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{2x^2}$
আমরা জানি, $1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$
$=> L = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{2x^2}$
$=> L = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}$
$=> L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2} \cdot 2} \right)^2$
$=> L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{4} \left( \frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2$
$=> L = \frac{1}{4} \left( \lim_{\frac{x}{2} \to 0} \frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2$
আমরা জানি, $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$
$=> L = \frac{1}{4} \cdot (1)^2 = \frac{1}{4}$

উত্তর: $\frac{1}{4}$

---

খ) $x$ এর কোন মানের জন্য $f(x)$ এর মান সর্বোচ্চ?

দেওয়া আছে, $f(x) = 3x^3 - 6x^2 - 5x + 2$
$x$ এর সাপেক্ষে পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ করে পাই,
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 - 6x^2 - 5x + 2) = 9x^2 - 12x - 5$
$f''(x) = \frac{d}{dx}(9x^2 - 12x - 5) = 18x - 12$

সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মানের জন্য প্রথম অন্তরজ শূন্য হয়, অর্থাৎ $f'(x) = 0$:
$9x^2 - 12x - 5 = 0$
$=> 9x^2 - 15x + 3x - 5 = 0$
$=> 3x(3x - 5) + 1(3x - 5) = 0$
$=> (3x - 5)(3x + 1) = 0$
$=> x = \frac{5}{3}$ অথবা $x = -\frac{1}{3}$

সর্বোচ্চ মানের (গুরুমান) জন্য শর্ত হলো $f''(x) < 0$:
$x = \frac{5}{3}$ বিন্দুতে, $f''\left(\frac{5}{3}\right) = 18\left(\frac{5}{3}\right) - 12 = 30 - 12 = 18 > 0$ (এখানে সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান)
$x = -\frac{1}{3}$ বিন্দুতে, $f''\left(-\frac{1}{3}\right) = 18\left(-\frac{1}{3}\right) - 12 = -6 - 12 = -18 < 0$ (এখানে সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান)

অতএব, $x = -\frac{1}{3}$ এর জন্য ফাংশনটির মান সর্বোচ্চ হবে।

উত্তর: $x = -\frac{1}{3}$

---

গ) $(-2, 5)$ বিন্দুতে $g(x, y) = 0$ এর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $g(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y - 7 = 0$
বক্ররেখাটি একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্দেশ করে।

আমরা জানি, কোনো বৃত্ত $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ এর $(x_1, y_1)$ বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ:
$xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$

প্রদত্ত সমীকরণটিকে আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই:
$2g = -4 \implies g = -2$
$2f = -6 \implies f = -3$
$c = -7$
এবং প্রদত্ত স্পর্শবিন্দু $(x_1, y_1) = (-2, 5)$

এখন $(-2, 5)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
$x(-2) + y(5) + (-2)(x + (-2)) + (-3)(y + 5) - 7 = 0$
$=> -2x + 5y - 2(x - 2) - 3(y + 5) - 7 = 0$
$=> -2x + 5y - 2x + 4 - 3y - 15 - 7 = 0$
$=> -4x + 2y - 18 = 0$

উভয়পক্ষকে $-2$ দ্বারা ভাগ করে পাই:
$2x - y + 9 = 0$

উত্তর: $2x - y + 9 = 0$