ID#6848 HSC Higher Math 1st CQ (Mymensingh 2023)

ক) $P = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ এবং $Q = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ হলে $(PQ)^T$ নির্ণয় কর।

প্রথমে ম্যাট্রিক্স $PQ$ নির্ণয় করি:
$PQ = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$
$=> PQ = \begin{pmatrix} 1(4) & 1(5) & 1(6) \\ 2(4) & 2(5) & 2(6) \\ 3(4) & 3(5) & 3(6) \end{pmatrix}$
$=> PQ = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 12 & 15 & 18 \end{pmatrix}$

এখন বিম্ব (Transpose) ম্যাট্রিক্স $(PQ)^T$ নির্ণয় করি:
$(PQ)^T = \begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\ 5 & 10 & 15 \\ 6 & 12 & 18 \end{pmatrix}$

উত্তর: $\begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\ 5 & 10 & 15 \\ 6 & 12 & 18 \end{pmatrix}$

---

খ) $AB = I_2$ হলে $m$ ও $n$ এর মান নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ এবং $B = \begin{pmatrix} l & m \\ 0 & n \end{pmatrix}$
এখন $AB$ গুণ করে পাই:
$AB = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} l & m \\ 0 & n \end{pmatrix}$
$=> AB = \begin{pmatrix} 1(l) + 4(0) & 1(m) + 4(n) \\ 0(l) + 1(0) & 0(m) + 1(n) \end{pmatrix}$
$=> AB = \begin{pmatrix} l & m + 4n \\ 0 & n \end{pmatrix}$

প্রশ্নানুসারে, $AB = I_2$
$=> \begin{pmatrix} l & m + 4n \\ 0 & n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুযায়ী অনুরূপ ভুক্তিগুলো সমীকৃত করে পাই:
$l = 1$
$n = 1$
$m + 4n = 0 \cdots\cdots (i)$

$(i)$ নং সমীকরণে $n = 1$ বসিয়ে পাই:
$m + 4(1) = 0$
$=> m + 4 = 0$
$=> m = -4$

উত্তর: $m = -4$ এবং $n = 1$

---

গ) $f(C)$ নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ এবং $f(x) = x^2 + 5x + 6$
অতএব, $f(C) = C^2 + 5C + 6I_3$

প্রথমে $C^2$ নির্ণয় করি:
$C^2 = C \cdot C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}$
$=> C^2 = \begin{pmatrix} 0(0)+1(1)+2(2) & 0(1)+1(2)+2(0) & 0(2)+1(0)+2(4) \\ 1(0)+2(1)+0(2) & 1(1)+2(2)+0(0) & 1(2)+2(0)+0(4) \\ 2(0)+0(1)+4(2) & 2(1)+0(2)+4(0) & 2(2)+0(0)+4(4) \end{pmatrix}$
$=> C^2 = \begin{pmatrix} 0+1+4 & 0+2+0 & 0+0+8 \\ 0+2+0 & 1+4+0 & 2+0+0 \\ 0+0+8 & 2+0+0 & 4+0+16 \end{pmatrix}$
$=> C^2 = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 8 \\ 2 & 5 & 2 \\ 8 & 2 & 20 \end{pmatrix}$

এখন $5C$ নির্ণয় করি:
$5C = 5 \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 10 \\ 5 & 10 & 0 \\ 10 & 0 & 20 \end{pmatrix}$

এবং $6I_3$ নির্ণয় করি:
$6I_3 = 6 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

এখন মানগুলো যোগ করে $f(C)$ পাই:
$f(C) = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 8 \\ 2 & 5 & 2 \\ 8 & 2 & 20 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 5 & 10 \\ 5 & 10 & 0 \\ 10 & 0 & 20 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$
$=> f(C) = \begin{pmatrix} 5+0+6 & 2+5+0 & 8+10+0 \\ 2+5+0 & 5+10+6 & 2+0+0 \\ 8+10+0 & 2+0+0 & 20+20+6 \end{pmatrix}$
$=> f(C) = \begin{pmatrix} 11 & 7 & 18 \\ 7 & 21 & 2 \\ 18 & 2 & 46 \end{pmatrix}$

উত্তর: $\begin{pmatrix} 11 & 7 & 18 \\ 7 & 21 & 2 \\ 18 & 2 & 46 \end{pmatrix}$