ID#6850 HSC Higher Math 1st CQ (Mymensingh 2023)

ক) $L(4, 3)$ বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

ধরি, $L$ বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক $(x, y) = (4, 3)$
বিন্দুটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত।

পোলার স্থানাঙ্ক $(r, \theta)$ হলে,
$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

এবং কোণ,
$\theta = \tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right| = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \approx 36.87^\circ$ (বা $0.6435 \text{ rad}$)

উত্তর: $\left(5, \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\right)$

---

খ) $LM$ রেখাংশের লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

প্রদত্ত বিন্দুদ্বয়: $L(4, 3)$ এবং $M(3, 5)$

$LM$ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
$\left(\frac{4 + 3}{2}, \frac{3 + 5}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, 4\right)$

$LM$ রেখার ঢাল, $m_1 = \frac{5 - 3}{3 - 4} = \frac{2}{-1} = -2$

ধরি, $LM$ এর লম্বদ্বিখন্ডক রেখার ঢাল $m_2$।
যেহেতু রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব, সেহেতু:
$m_1 \cdot m_2 = -1$
$=> -2 \cdot m_2 = -1$
$=> m_2 = \frac{1}{2}$

অতএব, $\left(\frac{7}{2}, 4\right)$ বিন্দুগামী এবং $\frac{1}{2}$ ঢালবিশিষ্ট লম্বদ্বিখন্ডক রেখার সমীকরণ:
$y - 4 = \frac{1}{2}\left(x - \frac{7}{2}\right)$
$=> 2(y - 4) = x - \frac{7}{2}$
$=> 2y - 8 = x - \frac{7}{2}$
$=> 4y - 16 = 2x - 7$
$=> 2x - 4y + 9 = 0$

উত্তর: $2x - 4y + 9 = 0$

---

গ) $MN$ ও $NL$ রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর scraps।

প্রদত্ত বিন্দুসমূহ: $L(4, 3)$, $M(3, 5)$ এবং $N(6, 4)$

প্রথমে $MN$ রেখার সমীকরণ নির্ণয় করি:
$\frac{x - 3}{3 - 6} = \frac{y - 5}{5 - 4}$
$=> \frac{x - 3}{-3} = \frac{y - 5}{1}$
$=> x - 3 = -3y + 15$
$=> x + 3y - 18 = 0 \cdots\cdots (i)$

এবার $NL$ রেখার সমীকরণ নির্ণয় করি:
$\frac{x - 6}{6 - 4} = \frac{y - 4}{4 - 3}$
$=> \frac{x - 6}{2} = \frac{y - 4}{1}$
$=> x - 6 = 2y - 8$
$=> x - 2y + 2 = 0 \cdots\cdots (ii)$

$(i)$ ও $(ii)$ নং রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ:
$\frac{x + 3y - 18}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \pm \frac{x - 2y + 2}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}}$
$=> \frac{x + 3y - 18}{\sqrt{10}} = \pm \frac{x - 2y + 2}{\sqrt{5}}$
$=> \frac{x + 3y - 18}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \pm \frac{x - 2y + 2}{\sqrt{5}}$
$=> x + 3y - 18 = \pm \sqrt{2}(x - 2y + 2)$

ধনাত্মক (+) চিহ্ন নিয়ে পাই:
$x + 3y - 18 = \sqrt{2}x - 2\sqrt{2}y + 2\sqrt{2}$
$=> (\sqrt{2} - 1)x - (2\sqrt{2} + 3)y + (2\sqrt{2} + 18) = 0$

ঋণাত্মক (-) চিহ্ন নিয়ে পাই:
$x + 3y - 18 = -\sqrt{2}x + 2\sqrt{2}y - 2\sqrt{2}$
$=> (\sqrt{2} + 1)x + (3 - 2\sqrt{2})y + (2\sqrt{2} - 18) = 0$

উত্তর: সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ $(\sqrt{2} - 1)x - (2\sqrt{2} + 3)y + (2\sqrt{2} + 18) = 0$ এবং $(\sqrt{2} + 1)x + (3 - 2\sqrt{2})y + (2\sqrt{2} - 18) = 0$।