ID#6851 HSC Higher Math 1st CQ (Mymensingh 2023)

ক) $3x^2 + 3y^2 - 6x - 12y + 1 = 0$ বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয়:
প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ: $3x^2 + 3y^2 - 6x - 12y + 1 = 0$
উভয়পক্ষকে $3$ দ্বারা ভাগ করে সাধারণ আকারে প্রকাশ করে পাই:
$x^2 + y^2 - 2x - 4y + \frac{1}{3} = 0$

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ এর সাথে তুলনা করে পাই:
$2g = -2 \implies g = -1$
$2f = -4 \implies f = -2$
$c = \frac{1}{3}$

অতএব, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$
$\implies r = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 - \frac{1}{3}}$
$\implies r = \sqrt{1 + 4 - \frac{1}{3}}$
$\implies r = \sqrt{5 - \frac{1}{3}}$
$\implies r = \sqrt{\frac{15 - 1}{3}}$
$\implies r = \sqrt{\frac{14}{3}} \text{ একক}$

---

খ) P কেন্দ্রবিশিষ্ট এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়:
প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 1 = 0$
এখানে, $2g = -6 \implies g = -3$
$2f = -4 \implies f = -2$
অতএব, প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্র $C(-g, -f) = C(3, 2)$

প্রশ্নানুযায়ী, নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র $P(1, 2)$ এবং বৃত্তটি প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্র $C(3, 2)$ বিন্দু দিয়ে যায়।
সুতরাং, নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ $R = P$ ও $C$ বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব।
$R = \sqrt{(3 - 1)^2 + (2 - 2)^2}$
$\implies R = \sqrt{2^2 + 0^2}$
$\implies R = 2$

অতএব, $P(1, 2)$ কেন্দ্র এবং $2$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ:
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2^2$
$\implies x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 4$
$\implies x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$

---

গ) P ও Q বিন্দুগামী এবং y-অক্ষকে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়:
ধরি, বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ: $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ... (১)

যেহেতু বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করে, আমরা জানি:
$f^2 = c$ ... (২)

বৃত্তটি $P(1, 2)$ বিন্দুগামী, তাই (১) নং সমীকরণে মান বসিয়ে পাই:
$1^2 + 2^2 + 2g(1) + 2f(2) + c = 0$
$\implies 1 + 4 + 2g + 4f + c = 0$
$\implies 2g + 4f + c + 5 = 0$ ... (৩)

আবার বৃত্তটি $Q(2, 3)$ বিন্দুগামী, তাই (১) নং সমীকরণে মান বসিয়ে পাই:
$2^2 + 3^2 + 2g(2) + 2f(3) + c = 0$
$\implies 4 + 9 + 4g + 6f + c = 0$
$\implies 4g + 6f + c + 13 = 0$ ... (৪)

সমীকরণ (৪) থেকে (৩) বিয়োগ করে পাই:
$(4g + 6f + c + 13) - (2g + 4f + c + 5) = 0$
$\implies 2g + 2f + 8 = 0$
$\implies 2g = -2f - 8$
$\implies g = -f - 4$ ... (৫)

এখন সমীকরণ (৩) এ $g$ এবং $c = f^2$ এর মান বসিয়ে পাই:
$2(-f - 4) + 4f + f^2 + 5 = 0$
$\implies -2f - 8 + 4f + f^2 + 5 = 0$
$\implies f^2 + 2f - 3 = 0$
$\implies f^2 + 3f - f - 3 = 0$
$\implies f(f + 3) - 1(f + 3) = 0$
$\implies (f + 3)(f - 1) = 0$

অতএব, $f = -3$ অথবা $f = 1$

যদি $f = -3$ হয়, তবে:
(২) নং হতে, $c = (-3)^2 = 9$
(৫) নং হতে, $g = -(-3) - 4 = 3 - 4 = -1$

যদি $f = 1$ হয়, তবে:
(২) নং হতে, $c = 1^2 = 1$
(৫) নং হতে, $g = -1 - 4 = -5$

অতএব, $g, f, c$ এর মান (১) নং সমীকরণে বসিয়ে সম্ভাব্য বৃত্তের সমীকরণদ্বয় পাই:
১ম বৃত্তের সমীকরণ ($g = -1, f = -3, c = 9$):
$x^2 + y^2 + 2(-1)x + 2(-3)y + 9 = 0$
$\implies x^2 + y^2 - 2x - 6y + 9 = 0$

২য় বৃত্তের সমীকরণ ($g = -5, f = 1, c = 1$):
$x^2 + y^2 + 2(-5)x + 2(1)y + 1 = 0$
$\implies x^2 + y^2 - 10x + 2y + 1 = 0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণদ্বয়: $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 9 = 0$ এবং $x^2 + y^2 - 10x + 2y + 1 = 0$