ID#6852 HSC Higher Math 1st CQ (Mymensingh 2023)

ক) দেখাও যে, $\sin \frac{\pi}{16} = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}$:
আমরা জানি, $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
আবার সূত্রানুযায়ী, $2 \cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$
$\theta = \frac{\pi}{8}$ বসালে পাই:
$2 \cos^2 \frac{\pi}{8} = 1 + \cos \frac{\pi}{4} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}$
$\implies 4 \cos^2 \frac{\pi}{8} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2}$
উভয়পক্ষে বর্গমূল করে পাই (যেহেতু $\frac{\pi}{8}$ প্রথম চতুর্ভাগে ধনাত্মক):
$2 \cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$

আবার আমরা জানি, $2 \sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$
এবার $\theta = \frac{\pi}{16}$ বসালে পাই:
$2 \sin^2 \frac{\pi}{16} = 1 - \cos \frac{\pi}{8}$
উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা গুণ করে পাই:
$4 \sin^2 \frac{\pi}{16} = 2 - 2 \cos \frac{\pi}{8}$
উপরে প্রাপ্ত $2 \cos \frac{\pi}{8}$ এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই:
$4 \sin^2 \frac{\pi}{16} = 2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}$
উভয়পক্ষে বর্গমূল করে পাই:
$2 \sin \frac{\pi}{16} = \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}$
$\implies \sin \frac{\pi}{16} = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}$ (দেখানো হলো)

---

খ) $\angle B = 60^\circ$ হলে দেখাও যে, $2 \cos \frac{\pi}{16}\cos \frac{C-A}{2} = \frac{c+a}{b}$:
ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুযায়ী আমরা জানি:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
$\implies a = 2R \sin A, \quad b = 2R \sin B, \quad c = 2R \sin C$

এখন ডানপক্ষ বিবেচনা করি:
$\text{R.H.S.} = \frac{c+a}{b}$
$\implies \text{R.H.S.} = \frac{2R \sin C + 2R \sin A}{2R \sin B}$
$\implies \text{R.H.S.} = \frac{\sin C + \sin A}{\sin B}$
$\implies \text{R.H.S.} = \frac{2 \sin \left(\frac{C+A}{2}\right) \cos \left(\frac{C-A}{2}\right)}{\sin B}$

যেহেতু $\Delta ABC$ এ $A + B + C = 180^\circ \implies C + A = 180^\circ - B$
$\implies \frac{C+A}{2} = 90^\circ - \frac{B}{2}$
$\implies \sin \left(\frac{C+A}{2}\right) = \sin\left(90^\circ - \frac{B}{2}\right) = \cos \frac{B}{2}$

মানটি প্রতিস্থাপন করে পাই:
$\implies \text{R.H.S.} = \frac{2 \cos \frac{B}{2} \cos \left(\frac{C-A}{2}\right)}{2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2}}$ $\left[ \because \sin B = 2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2} \right]$
$\implies \text{R.H.S.} = \frac{\cos \left(\frac{C-A}{2}\right)}{\sin \frac{B}{2}}$

উদ্দীপকের শর্তানুযায়ী $\angle B = 60^\circ$, অতএব $\frac{B}{2} = 30^\circ$
$\implies \text{R.H.S.} = \frac{\cos \left(\frac{C-A}{2}\right)}{\sin 30^\circ}$
$\implies \text{R.H.S.} = \frac{\cos \left(\frac{C-A}{2}\right)}{1/2}$
$\implies \text{R.H.S.} = 2 \cos \frac{C-A}{2}$
$\implies \text{R.H.S.} = \text{L.H.S.}$ (দেখানো হলো)

---

গ) $ABC$ ত্রিভুজ হতে $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$ এর মান নির্ণয়:
প্রদত্ত রাশি $= \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
প্রথমে আমরা $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C$ অংশটুকুর মান সরল করি:
$\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = \frac{1}{2}(2\sin^2 A + 2\sin^2 B) + \sin^2 C$
$\implies = \frac{1}{2}(1 - \cos 2A + 1 - \cos 2B) + \sin^2 C$
$\implies = \frac{1}{2}(2 - (\cos 2A + \cos 2B)) + \sin^2 C$
$\implies = 1 - \frac{1}{2} \left(2 \cos(A+B) \cos(A-B)\right) + \sin^2 C$
$\implies = 1 - \cos(A+B) \cos(A-B) + 1 - \cos^2 C$

যেহেতু $A + B + C = \pi \implies A + B = \pi - C$
$\implies \cos(A+B) = \cos(\pi - C) = -\cos C$

মানটি প্রতিস্থাপন করে পাই:
$\implies = 2 - (-\cos C) \cos(A-B) - \cos^2 C$
$\implies = 2 + \cos C \cos(A-B) - \cos^2 C$
$\implies = 2 + \cos C (\cos(A-B) - \cos C)$
যেহেতু $-\cos C = \cos(A+B)$, সেহেতু:
$\implies = 2 + \cos C (\cos(A-B) + \cos(A+B))$
$\implies = 2 + \cos C (2 \cos A \cos B)$
$\implies = 2 + 2 \cos A \cos B \cos C$

এখন মূল প্রদত্ত রাশিতে এই মানটি বসিয়ে পাই:
$\text{প্রদত্ত রাশি} = (2 + 2 \cos A \cos B \cos C) - 2 \cos A \cos B \cos C$
$\implies \text{প্রদত্ত রাশি} = 2$