ID#6853 HSC Higher Math 1st CQ (Mymensingh 2023)

ক) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - f(x)}{f'(x)}$ এর মান নির্ণয়:
প্রদত্ত ফাংশন: $f(x) = \sin x$
$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই: $f'(x) = \cos x$

এখন প্রদত্ত সীমা:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sin x}{\cos x}$

যেহেতু $x = \frac{\pi}{2}$ বসালে লব ও হর উভয়ই $0$ হয় (অসংজ্ঞায়িত $\frac{0}{0}$ আকার), তাই L'Hôpital-এর নিয়ম প্রয়োগ করে পাই:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{d}{dx}(1 - \sin x)}{\frac{d}{dx}(\cos x)}$
$\implies \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-\cos x}{-\sin x}$
$\implies \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x}$

এখন সীমার মান বসিয়ে পাই:
$\implies \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})}$
$\implies \frac{0}{1}$
$\implies 0$

---

খ) মূল নিয়মে $x$ এর সাপেক্ষে $\frac{1}{f(3x)}$ এর অন্তরজ নির্ণয়:
ধরি, $F(x) = \frac{1}{f(3x)} = \frac{1}{\sin 3x} = \csc 3x$
$\implies F(x+h) = \frac{1}{\sin 3(x+h)} = \frac{1}{\sin (3x+3h)}$

মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুযায়ী আমরা জানি:
$\frac{d}{dx} [F(x)] = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}$
$\implies \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\sin 3x}\right) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sin(3x+3h)} - \frac{1}{\sin 3x}}{h}$
$\implies = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[ \frac{\sin 3x - \sin(3x+3h)}{\sin(3x+3h) \cdot \sin 3x} \right]$
$\implies = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[ \frac{2 \cos\left(\frac{3x + 3x + 3h}{2}\right) \sin\left(\frac{3x - (3x + 3h)}{2}\right)}{\sin(3x+3h) \cdot \sin 3x} \right]$
$\implies = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[ \frac{2 \cos\left(3x + \frac{3h}{2}\right) \sin\left(-\frac{3h}{2}\right)}{\sin(3x+3h) \cdot \sin 3x} \right]$
$\implies = \lim_{h \to 0} \frac{-2 \cos\left(3x + \frac{3h}{2}\right) \sin\left(\frac{3h}{2}\right)}{h \cdot \sin(3x+3h) \cdot \sin 3x}$

সীমাটি আলাদা করে সাজিয়ে পাই:
$\implies = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{-\cos\left(3x + \frac{3h}{2}\right)}{\sin(3x+3h) \cdot \sin 3x} \right] \times \lim_{h \to 0} \left[ \frac{\sin\left(\frac{3h}{2}\right)}{\frac{3h}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} \right]$
$\implies = \left[ \frac{-\cos(3x+0)}{\sin(3x+0) \cdot \sin 3x} \right] \times 3 \times \lim_{\frac{3h}{2} \to 0} \left[ \frac{\sin\left(\frac{3h}{2}\right)}{\frac{3h}{2}} \right]$
$\implies = \left[ \frac{-\cos 3x}{\sin^2 3x} \right] \times 3 \times 1$
$\implies = -3 \cdot \frac{1}{\sin 3x} \cdot \frac{\cos 3x}{\sin 3x}$
$\implies = -3 \csc 3x \cot 3x$

---

গ) $y = f(a \sin^{-1} x)$ হলে দেখাও যে, $(1-x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} + a^2 y = 0$:
প্রদত্ত সমীকরণ: $y = \sin(a \sin^{-1} x)$

$x$ এর সাপেক্ষে প্রথমবার অন্তরীকরণ করে পাই:
$\frac{dy}{dx} = \cos(a \sin^{-1} x) \cdot \frac{d}{dx}(a \sin^{-1} x)$
$\implies \frac{dy}{dx} = \cos(a \sin^{-1} x) \cdot \frac{a}{\sqrt{1-x^2}}$
$\implies \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} = a \cos(a \sin^{-1} x)$

উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই:
$(1-x^2) \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = a^2 \cos^2(a \sin^{-1} x)$
$\implies (1-x^2) \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = a^2 [1 - \sin^2(a \sin^{-1} x)]$
$\implies (1-x^2) \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = a^2 (1 - y^2)$ $[\because y = \sin(a \sin^{-1} x)]$

পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (ইউভি সূত্র প্রয়োগ) করে পাই:
$(1-x^2) \cdot \frac{d}{dx}\left[\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right] + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \cdot \frac{d}{dx}(1-x^2) = a^2 \cdot \frac{d}{dx}(1 - y^2)$
$\implies (1-x^2) \cdot 2\left(\frac{dy}{dx}\right)\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right) + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \cdot (-2x) = a^2 \cdot (-2y \frac{dy}{dx})$
$\implies 2(1-x^2)\left(\frac{dy}{dx}\right)\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right) - 2x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = -2a^2 y \left(\frac{dy}{dx}\right)$

উভয়পক্ষকে $2\left(\frac{dy}{dx}\right)$ দ্বারা ভাগ করে পাই:
$(1-x^2)\frac{d^2 y}{dx^2} - x\frac{dy}{dx} = -a^2 y$
$\implies (1-x^2)\frac{d^2 y}{dx^2} - x\frac{dy}{dx} + a^2 y = 0$ (দেখানো হলো)