ID#6854 HSC Higher Math 1st CQ (Mymensingh 2023)

ক) $\frac{d}{dx} \{(x^x)^x\}$ নির্ণয়:
ধরি, $u = \{(x^x)^x\}$
আমরা সূচকের নিয়ম অনুযায়ী জানি, $(a^m)^n = a^{mn}$।
$\implies u = x^{x \cdot x} = x^{x^2}$

উভয়পক্ষে প্রাকৃতিক লগারিদম ($\ln$) নিয়ে পাই:
$\ln u = \ln(x^{x^2})$
$\implies \ln u = x^2 \ln x$

এখন $x$ এর সাপেক্ষে উভয়পক্ষকে অন্তরীকরণ (ইউভি সূত্র প্রয়োগ) করে পাই:
$\frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot \ln x + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$
$\implies \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x}$
$\implies \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = 2x \ln x + x$
$\implies \frac{du}{dx} = u (2x \ln x + x)$

এখন $u$ এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই:
$\frac{d}{dx} \{(x^x)^x\} = x^{x^2} (2x \ln x + x)$
$\implies \frac{d}{dx} \{(x^x)^x\} = x \cdot x^{x^2} (2 \ln x + 1) = x^{x^2 + 1} (2 \ln x + 1)$

---

খ) $f(x, y) = 0$ বক্ররেখার $(3, 2)$ বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয়:
প্রদত্ত বক্ররেখার সমীকরণ: $f(x, y) = 0$
$\implies y^2 - 4x - 6y + 20 = 0$ ... (১)

$x$ এর সাপেক্ষে (১) নং সমীকরণকে অন্তরীকরণ করে পাই:
$2y \frac{dy}{dx} - 4 - 6 \frac{dy}{dx} = 0$
$\implies (2y - 6) \frac{dy}{dx} = 4$
$\implies \frac{dy}{dx} = \frac{4}{2y - 6} = \frac{2}{y - 3}$

অতএব, $(3, 2)$ বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল $m$:
$m = \left. \frac{2}{y - 3} \right|_{(3,2)} = \frac{2}{2 - 3} = \frac{2}{-1} = -2$

স্পর্শকের সমীকরণ:
$(3, 2)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
$y - 2 = m(x - 3)$
$\implies y - 2 = -2(x - 3)$
$\implies y - 2 = -2x + 6$
$\implies 2x + y - 8 = 0$

অভিলম্বের সমীকরণ:
আমরা জানি, অভিলম্বের ঢাল $= -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$
অতএব, $(3, 2)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ:
$y - 2 = \frac{1}{2}(x - 3)$
$\implies 2(y - 2) = x - 3$
$\implies 2y - 4 = x - 3$
$\implies x - 2y + 1 = 0$

---

গ) $g(x)$ ফাংশনটির লঘু ও গুরুমান নির্ণয়:
প্রদত্ত ফাংশন: $g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$

$x$ এর সাপেক্ষে ফাংশনটিকে পরপর দুইবার অন্তরীকরণ করে পাই:
$g'(x) = 3x^2 - 12x + 9$
$g''(x) = 6x - 12$

ফাংশনটির চরমমান (লঘু ও গুরুমান) থাকার প্রয়োজনীয় শর্তানুযায়ী, $g'(x) = 0$ হতে হবে।
$\implies 3x^2 - 12x + 9 = 0$
$\implies 3(x^2 - 4x + 3) = 0$
$\implies x^2 - 3x - x + 3 = 0$
$\implies x(x - 3) - 1(x - 3) = 0$
$\implies (x - 1)(x - 3) = 0$
অতএব, $x = 1$ অথবা $x = 3$

$x = 1$ বিন্দুর জন্য পরীক্ষা:
$g''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6 < 0$
যেহেতু $g''(1)$ ঋণাত্মক, সেহেতু $x = 1$ বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান।
নির্ণেয় গুরুমান $= g(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 1 = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$

$x = 3$ বিন্দুর জন্য পরীক্ষা:
$g''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 > 0$
যেহেতু $g''(3)$ ধনাত্মক, সেহেতু $x = 3$ বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান বিদ্যমান।
নির্ণেয় লঘুমান $= g(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 1 = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$

অতএব, ফাংশনটির গুরুমান $5$ এবং লঘুমান $1$।