ID#6855 HSC Higher Math 1st CQ (Mymensingh 2023)

ক) $\int \tan^{-1} x \, dx$ নির্ণয়:
ধরি, $I = \int \tan^{-1} x \cdot 1 \, dx$
যোগজীকরণের আংশিক সূত্র (LIATE নীতি অনুযায়ী $u = \tan^{-1} x$ এবং $v = 1$) প্রয়োগ করে পাই:
$I = \tan^{-1} x \int 1 \, dx - \int \left\{ \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) \int 1 \, dx \right\} dx$
$\implies I = x \tan^{-1} x - \int \frac{1}{1+x^2} \cdot x \, dx$
$\implies I = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+x^2} \, dx$

আমরা জানি, $\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)|$
$\implies I = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \ln|1+x^2| + c$ ; [যেখানে $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক]

---

খ) $\int_{0}^{\pi/2} \frac{f(\frac{\pi}{2} - x)}{9 - \{f(x)\}^2} \, dx$ নির্ণয়:
প্রদত্ত ফাংশন: $f(x) = \sin x$
$\implies f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$

ধরি, $I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{9 - \sin^2 x} \, dx$
এখন ধরি, $\sin x = z$
$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, $\cos x \, dx = dz$

সীমা পরিবর্তন:
যখন $x = 0$, তখন $z = \sin 0 = 0$
When $x = \frac{\pi}{2}$, তখন $z = \sin\frac{\pi}{2} = 1$

মানগুলো প্রতিস্থাপন করে পাই:
$I = \int_{0}^{1} \frac{1}{3^2 - z^2} \, dz$
আমরা জানি, $\int \frac{1}{a^2 - z^2} \, dz = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{a+z}{a-z}\right|$
$\implies I = \left[ \frac{1}{2 \times 3} \ln\left|\frac{3+z}{3-z}\right| \right]_{0}^{1}$
$\implies I = \frac{1}{6} \left[ \ln\left|\frac{3+1}{3-1}\right| - \ln\left|\frac{3+0}{3-0}\right| \right]$
$\implies I = \frac{1}{6} \left[ \ln\left|\frac{4}{2}\right| - \ln 1 \right]$
$\implies I = \frac{1}{6} [ \ln 2 - 0 ]$
$\implies I = \frac{1}{6} \ln 2$

---

গ) $g(x, y) = 0$ বক্ররেখা এবং $x = 3$ সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
প্রদত্ত বক্ররেখার সমীকরণ: $g(x, y) = 0$
$\implies 25x^2 + 36y^2 - 900 = 0$
$\implies 25x^2 + 36y^2 = 900$
উভয়পক্ষকে $900$ দ্বারা ভাগ করে পাই:
$\implies \frac{25x^2}{900} + \frac{36y^2}{900} = 1$
$\implies \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{25} = 1$
$\implies \frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1$ ... (১)

এটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ, যার বৃহৎ অক্ষ X-অক্ষ বরাবর এবং $a = 6, b = 5$।
(১) নং সমীকরণ হতে $y$ এর মান বের করি:
$\frac{y^2}{25} = 1 - \frac{x^2}{36} \implies y^2 = \frac{25}{36}(36 - x^2) \implies y = \pm \frac{5}{6}\sqrt{36 - x^2}$

উপবৃত্তটি X-অক্ষকে $(6, 0)$ এবং $(-6, 0)$ বিন্দুতে ছেদ করে।
$x = 3$ সরলরেখাটি Y-অক্ষের সমান্তরাল একটি রেখা। এই রেখা এবং উপবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশটি $x = 3$ হতে $x = 6$ সীমার মধ্যে অবস্থিত এবং এটি X-অক্ষের উভয় পাশে প্রতিসম।

অতএব, আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল $A$:
$A = 2 \int_{3}^{6} y \, dx$
$\implies A = 2 \int_{3}^{6} \frac{5}{6}\sqrt{36 - x^2} \, dx$
$\implies A = \frac{5}{3} \int_{3}^{6} \sqrt{6^2 - x^2} \, dx$
আমরা জানি, $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$
$\implies A = \frac{5}{3} \left[ \frac{x\sqrt{36 - x^2}}{2} + \frac{36}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{6}\right) \right]_{3}^{6}$
$\implies A = \frac{5}{3} \left[ \left(\frac{6\sqrt{36 - 36}}{2} + 18\sin^{-1}(1)\right) - \left(\frac{3\sqrt{36 - 9}}{2} + 18\sin^{-1}\left(\frac{3}{6}\right)\right) \right]$
$\implies A = \frac{5}{3} \left[ \left(0 + 18 \times \frac{\pi}{2}\right) - \left(\frac{3\sqrt{27}}{2} + 18\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \right]$
$\implies A = \frac{5}{3} \left[ 9\pi - \left(\frac{9\sqrt{3}}{2} + 18 \times \frac{\pi}{6}\right) \right]$
$\implies A = \frac{5}{3} \left[ 9\pi - \frac{9\sqrt{3}}{2} - 3\pi \right]$
$\implies A = \frac{5}{3} \left[ 6\pi - \frac{9\sqrt{3}}{2} \right]$
$\implies A = 10\pi - \frac{15\sqrt{3}}{2} \text{ বর্গ একক}$