ID#6859 HSC Higher Math 1st CQ (Chittagong 2023)

ক) $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -k \end{bmatrix}$ ম্যাট্রিক্সটি ব্যুৎক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে $k$ এর মান নির্ণয়:
ধরি, $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -k \end{bmatrix}$
ম্যাট্রিক্সটি ব্যুৎক্রমী (Invertible) হতে হলে এর নির্ণায়কের মান শূন্য হতে পারবে না, অর্থাৎ $|A| \neq 0$।
$\implies \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -k \end{vmatrix} \neq 0$
$\implies 1(-k) - 2(-1) \neq 0$
$\implies -k + 2 \neq 0$
$\implies k \neq 2$

অতএব, $k = 2$ ব্যতীত যেকোনো বাস্তব মানের জন্য ম্যাট্রিক্সটি ব্যুৎক্রমী হবে।

---

খ) যদি $x = 7$ হয়, $Q^2 - 5Q + 3I_3$ এর মান নির্ণয়:
উদ্দীপক হতে, $x = 7$ বসালে পাই:
$Q = \begin{bmatrix} 3+7 & 4 & 2 \\ 4 & 2+7 & 3 \\ 2 & 3 & 4+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 4 & 2 \\ 4 & 9 & 3 \\ 2 & 3 & 11 \end{bmatrix}$

এখন, $Q^2$ নির্ণয় করি:
$Q^2 = \begin{bmatrix} 10 & 4 & 2 \\ 4 & 9 & 3 \\ 2 & 3 & 11 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 10 & 4 & 2 \\ 4 & 9 & 3 \\ 2 & 3 & 11 \end{bmatrix}$
$\implies Q^2 = \begin{bmatrix} 10(10)+4(4)+2(2) & 10(4)+4(9)+2(3) & 10(2)+4(3)+2(11) \\ 4(10)+9(4)+3(2) & 4(4)+9(9)+3(3) & 4(2)+9(3)+3(11) \\ 2(10)+3(4)+11(2) & 2(4)+3(9)+11(3) & 2(2)+3(3)+11(11) \end{bmatrix}$
$\implies Q^2 = \begin{bmatrix} 100+16+4 & 40+36+6 & 20+12+22 \\ 40+36+6 & 16+81+9 & 8+27+33 \\ 20+12+22 & 8+27+33 & 4+9+121 \end{bmatrix}$
$\implies Q^2 = \begin{bmatrix} 120 & 82 & 54 \\ 82 & 106 & 68 \\ 54 & 68 & 134 \end{bmatrix}$

এখন প্রদত্ত রাশিতে মানগুলো প্রতিস্থাপন করি:
$Q^2 - 5Q + 3I_3 = \begin{bmatrix} 120 & 82 & 54 \\ 82 & 106 & 68 \\ 54 & 68 & 134 \end{bmatrix} - 5\begin{bmatrix} 10 & 4 & 2 \\ 4 & 9 & 3 \\ 2 & 3 & 11 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\implies = \begin{bmatrix} 120 & 82 & 54 \\ 82 & 106 & 68 \\ 54 & 68 & 134 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 50 & 20 & 10 \\ 20 & 45 & 15 \\ 10 & 15 & 55 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$
$\implies = \begin{bmatrix} 120-50+3 & 82-20+0 & 54-10+0 \\ 82-20+0 & 106-45+3 & 68-15+0 \\ 54-10+0 & 68-15+0 & 134-55+3 \end{bmatrix}$
$\implies = \begin{bmatrix} 73 & 62 & 44 \\ 62 & 64 & 53 \\ 44 & 53 & 82 \end{bmatrix}$

---

গ) $|Q| = 0$ হলে সমাধান সেট নির্ণয় কর:
শর্তানুযায়ী, $|Q| = 0$
$\implies \begin{vmatrix} 3+x & 4 & 2 \\ 4 & 2+x & 3 \\ 2 & 3 & 4+x \end{vmatrix} = 0$

নির্ণায়কের ১ম কলামের সাথে ২য় ও ৩য় কলাম যোগ করে পাই, $C'_1 = C_1 + C_2 + C_3$:
$\implies \begin{vmatrix} (3+x)+4+2 & 4 & 2 \\ 4+(2+x)+3 & 2+x & 3 \\ 2+3+(4+x) & 3 & 4+x \end{vmatrix} = 0$
$\implies \begin{vmatrix} x+9 & 4 & 2 \\ x+9 & 2+x & 3 \\ x+9 & 3 & 4+x \end{vmatrix} = 0$

১ম কলাম হতে সাধারণ উপাদান $(x+9)$ কমন নিয়ে পাই:
$\implies (x+9) \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 1 & 2+x & 3 \\ 1 & 3 & 4+x \end{vmatrix} = 0$

নির্ণায়কের সারি অপারেশন করে পাই, $R'_1 = R_1 - R_2$ এবং $R'_2 = R_2 - R_3$:
$\implies (x+9) \begin{vmatrix} 0 & 4-(2+x) & 2-3 \\ 0 & (2+x)-3 & 3-(4+x) \\ 1 & 3 & 4+x \end{vmatrix} = 0$
$\implies (x+9) \begin{vmatrix} 0 & 2-x & -1 \\ 0 & x-1 & -1-x \\ 1 & 3 & 4+x \end{vmatrix} = 0$

১ম কলাম বরাবর বিস্তার করে পাই:
$\implies (x+9) \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 2-x & -1 \\ x-1 & -(x+1) \end{vmatrix} = 0$
$\implies (x+9) [(2-x)(-(x+1)) - (-1)(x-1)] = 0$
$\implies (x+9) [(x-2)(x+1) + (x-1)] = 0$
$\implies (x+9) [x^2 - x - 2 + x - 1] = 0$
$\implies (x+9) [x^2 - 3] = 0$

অতএব, হয় $x + 9 = 0 \implies x = -9$
অথবা, $x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$

নির্ণেয় সমাধান সেট: $S = \{-9, \sqrt{3}, -\sqrt{3}\}$