ID#6860 HSC Higher Math 1st CQ (Chittagong 2023)

ক) প্রমাণ কর: $\frac{\sin 75^\circ + \sin 15^\circ}{\sin 75^\circ - \sin 15^\circ} = \sqrt{3}$:
বামপক্ষ বিবেচনা করি:
$\text{L.H.S.} = \frac{\sin 75^\circ + \sin 15^\circ}{\sin 75^\circ - \sin 15^\circ}$

লব ও হরে যথাক্রমে $\sin C + \sin D$ এবং $\sin C - \sin D$ এর সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
$\implies \text{L.H.S.} = \frac{2 \sin\left(\frac{75^\circ + 15^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{75^\circ - 15^\circ}{2}\right)}{2 \cos\left(\frac{75^\circ + 15^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{75^\circ - 15^\circ}{2}\right)}$
$\implies \text{L.H.S.} = \frac{2 \sin 45^\circ \cos 30^\circ}{2 \cos 45^\circ \sin 30^\circ}$
$\implies \text{L.H.S.} = \frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} \times \frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ}$
$\implies \text{L.H.S.} = \tan 45^\circ \times \cot 30^\circ$

আমরা জানি, $\tan 45^\circ = 1$ এবং $\cot 30^\circ = \sqrt{3}$
$\implies \text{L.H.S.} = 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$
$\implies \text{L.H.S.} = \text{R.H.S.}$ (প্রমাণিত)

---

খ) প্রমাণ কর: $\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 2 \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma$:
বামপক্ষ বিবেচনা করি:
$\text{L.H.S.} = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$

আমরা জানি, $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B)$
$\implies \text{L.H.S.} = \sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) + \sin^2 \gamma$

উদ্দীপকে প্রদত্ত শর্তানুযায়ী, $\alpha + \beta + \gamma = \pi \implies \alpha + \beta = \pi - \gamma$
$\implies \sin(\alpha + \beta) = \sin(\pi - \gamma) = \sin \gamma$

মান প্রতিস্থাপন করে পাই:
$\implies \text{L.H.S.} = \sin \gamma \sin(\alpha - \beta) + \sin^2 \gamma$
$\implies \text{L.H.S.} = \sin \gamma [\sin(\alpha - \beta) + \sin \gamma]$

আবার, $\gamma = \pi - (\alpha + \beta)$
$\implies \sin \gamma = \sin(\pi - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta)$
$\implies \text{L.H.S.} = \sin \gamma [\sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta)]$

আমরা জানি, $\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2 \sin \alpha \cos \beta$
$\implies \text{L.H.S.} = \sin \gamma [2 \sin \alpha \cos \beta]$
$\implies \text{L.H.S.} = 2 \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma$
$\implies \text{L.H.S.} = \text{R.H.S.}$ (প্রমাণিত)

---

গ) $\cos P = \sin Q - \cos R$ হলে দেখাও যে, $PQR$ ত্রিভুজটি সমকোণী:
প্রদত্ত সমীকরণ: $\cos P = \sin Q - \cos R$
$\implies \cos P + \cos R = \sin Q$

বামপক্ষে $\cos C + \cos D$ এর সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
$\implies 2 \cos\left(\frac{P+R}{2}\right) \cos\left(\frac{P-R}{2}\right) = \sin Q$

যেহেতু $PQR$ ত্রিভুজে $P + Q + R = \pi \implies P + R = \pi - Q$
$\implies \frac{P+R}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{Q}{2}$
$\implies \cos\left(\frac{P+R}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{Q}{2}\right) = \sin \frac{Q}{2}$

মান প্রতিস্থাপন করে পাই:
$\implies 2 \sin \frac{Q}{2} \cos\left(\frac{P-R}{2}\right) = 2 \sin \frac{Q}{2} \cos \frac{Q}{2}$ $\left[ \because \sin Q = 2 \sin \frac{Q}{2} \cos \frac{Q}{2} \right]$

যেহেতু ত্রিভুজের কোণ $Q \neq 0$, তাই $\sin \frac{Q}{2} \neq 0$। উভয়পক্ষকে $2 \sin \frac{Q}{2}$ দ্বারা ভাগ করে পাই:
$\implies \cos\left(\frac{P-R}{2}\right) = \cos \frac{Q}{2}$
$\implies \frac{P-R}{2} = \frac{Q}{2}$
$\implies P - R = Q$
$\implies P = Q + R$

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি:
$P + Q + R = \pi$
উপরে প্রাপ্ত $Q + R = P$ মানটি এখানে বসিয়ে পাই:
$\implies P + P = \pi$
$\implies 2P = \pi$
$\implies P = \frac{\pi}{2} = 90^\circ$

যেহেতু $PQR$ ত্রিভুজের একটি কোণ ($P$) সমকোণ, সেহেতু ত্রিভুজটি সমকোণী। (দেখানো হলো)