ID#6862 HSC Higher Math 1st CQ (Chittagong 2023)

ক) $\frac{d}{dx} \left( \frac{\cos x - \cos 2x}{1 - \cos x} \right)$ নির্ণয়:
ধরি, $y = \frac{\cos x - \cos 2x}{1 - \cos x}$
আমরা জানি, $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$
$\implies y = \frac{\cos x - (2\cos^2 x - 1)}{1 - \cos x}$
$\implies y = \frac{-2\cos^2 x + \cos x + 1}{1 - \cos x}$

লবকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ (মিডল টার্ম) করে পাই:
$\implies y = \frac{-2\cos^2 x + 2\cos x - \cos x + 1}{1 - \cos x}$
$\implies y = \frac{2\cos x(1 - \cos x) + 1(1 - \cos x)}{1 - \cos x}$
$\implies y = \frac{(1 - \cos x)(2\cos x + 1)}{1 - \cos x}$
$\implies y = 2\cos x + 1$

এখন $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2\cos x + 1)$
$\implies \frac{dy}{dx} = -2\sin x$

---

খ) $(0, \pi)$ ব্যবধিতে $f(\frac{\pi}{2} - x) + f(2x)$ ফাংশনের লঘুমান এবং গুরুমান নির্ণয়:
উদ্দীপক হতে, $f(x) = \cos x$
$\implies f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$ এবং $f(2x) = \cos 2x$
ধরি, প্রদত্ত ফাংশন $g(x) = \sin x + \cos 2x$

$x$ এর সাপেক্ষে পরপর দুইবার অন্তরীকরণ করে পাই:
$g'(x) = \cos x - 2\sin 2x = \cos x - 4\sin x \cos x = \cos x(1 - 4\sin x)$
$g''(x) = -\sin x - 4\cos 2x$

চরমমানের (লঘু ও গুরুমান) প্রয়োজনীয় শর্তানুযায়ী, $g'(x) = 0$
$\implies \cos x(1 - 4\sin x) = 0$
অতএব, হয় $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}$ [যেহেতু ব্যবধি $0 < x < \pi$]
অথবা, $1 - 4\sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{4}$

$x = \frac{\pi}{2}$ বিন্দুর জন্য পরীক্ষা:
$g''\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 4\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = -1 - 4(-1) = -1 + 4 = 3 > 0$
যেহেতু $g''\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ধনাত্মক, সেহেতু $x = \frac{\pi}{2}$ বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান বিদ্যমান।
নির্ণেয় লঘুমান $= g\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 1 + (-1) = 0$

$\sin x = \frac{1}{4}$ বিন্দুর জন্য পরীক্ষা:
আমরা জানি, $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$
$\implies g''(x) = - \sin x - 4(1 - 2\sin^2 x) = -\sin x - 4 + 8\sin^2 x$
$\sin x = \frac{1}{4}$ বসিয়ে পাই:
$g''(x) = -\frac{1}{4} - 4 + 8\left(\frac{1}{4}\right)^2 = -\frac{1}{4} - 4 + 8\left(\frac{1}{16}\right) = -\frac{1}{4} - 4 + \frac{1}{2} = -\frac{15}{4} < 0$
যেহেতু $g''(x)$ ঋণাত্মক, সেহেতু $\sin x = \frac{1}{4}$ বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান।
নির্ণেয় গুরুমান $= \sin x + (1 - 2\sin^2 x) = \frac{1}{4} + 1 - 2\left(\frac{1}{16}\right) = \frac{1}{4} + 1 - \frac{1}{8} = \frac{2 + 8 - 1}{8} = \frac{9}{8}$

অতএব, প্রদত্ত ব্যবধিতে ফাংশনটির লঘুমান $0$ এবং গুরুমান $\frac{9}{8}$।

---

গ) $\int \{f(x)\}^3 \, dx + \int \sqrt{1 - \{f(x)\}^2} \ln(f(x)) \, dx$ এর মান নির্ণয়:
উদ্দীপকের আলোকে প্রদত্ত রাশিকে দুটি অংশে বিভক্ত করি, $I = I_1 + I_2$
যেখানে, $I_1 = \int \cos^3 x \, dx$ এবং $I_2 = \int \sqrt{1 - \cos^2 x} \ln(\cos x) \, dx$

১ম অংশ ($I_1$) সমাধান:
আমরা জানি, $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x \implies \cos^3 x = \frac{1}{4}(\cos 3x + 3\cos x)$
$\implies I_1 = \frac{1}{4} \int (\cos 3x + 3\cos x) \, dx$
$\implies I_1 = \frac{1}{4} \left[ \frac{\sin 3x}{3} + 3\sin x \right] = \frac{\sin 3x}{12} + \frac{3\sin x}{4}$ ... (১)

২য় অংশ ($I_2$) সমাধান:
$I_2 = \int \sqrt{\sin^2 x} \ln(\cos x) \, dx = \int \sin x \ln(\cos x) \, dx$
ধরি, $\cos x = z \implies -\sin x \, dx = dz \implies \sin x \, dx = -dz$
$\implies I_2 = \int \ln z \cdot (-dz) = -\int \ln z \cdot 1 \, dz$
আংশিক যোগজীকরণ (ইউভি সূত্র) প্রয়োগ করে পাই:
$\implies I_2 = -\left[ \ln z \cdot z - \int \frac{1}{z} \cdot z \, dz \right] = -[z \ln z - z] = z - z \ln z$
$z = \cos x$ প্রতিস্থাপন করে পাই:
$\implies I_2 = \cos x - \cos x \ln(\cos x)$ ... (২)

সর্বমোট মান ($I$):
(১) ও (২) নং সমীকরণ যোগ করে পাই:
$I = \frac{\sin 3x}{12} + \frac{3\sin x}{4} + \cos x - \cos x \ln(\cos x) + c$ ; [যেখানে $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক]