ID#6863 HSC Higher Math 1st CQ (Chittagong 2023)

ক) $\int \frac{1}{e^{-x} + 1} \, dx$ নির্ণয়:
ধরি, $I = \int \frac{1}{\frac{1}{e^x} + 1} \, dx$
$\implies I = \int \frac{1}{\frac{1 + e^x}{e^x}} \, dx$
$\implies I = \int \frac{e^x}{e^x + 1} \, dx$

এখন ধরি, $e^x + 1 = z$
$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, $e^x \, dx = dz$

মান প্রতিস্থাপন করে পাই:
$I = \int \frac{1}{z} \, dz$
$\implies I = \ln|z| + c$
$\implies I = \ln|e^x + 1| + c$ ; [যেখানে $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক]

---

খ) $\int_{0}^{\pi/2} \frac{f'(x)}{[\{f(x)\}^2 - 16] \{f(x) - 3\}} \, dx$ নির্ণয়:
উদ্দীপকের চিত্র হতে পাই, $f(x) = \sin x \implies f'(x) = \cos x$
ধরি, $I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{(\sin^2 x - 16)(\sin x - 3)} \, dx$

এখন ধরি, $\sin x = z$
$\implies \cos x \, dx = dz$

সীমা পরিবর্তন:
যখন $x = 0$, তখন $z = \sin 0 = 0$
যখন $x = \frac{\pi}{2}$, তখন $z = \sin\frac{\pi}{2} = 1$

মানগুলো প্রতিস্থাপন করে পাই:
$I = \int_{0}^{1} \frac{1}{(z^2 - 16)(z - 3)} \, dz$
$\implies I = \int_{0}^{1} \frac{1}{(z-4)(z+4)(z-3)} \, dz$

আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তরের জন্য 'Cover-up' নিয়ম ব্যবহার করে পাই:
$\frac{1}{(z-4)(z+4)(z-3)} = \frac{1}{(4+4)(4-3)(z-4)} + \frac{1}{(-4-4)(-4-3)(z+4)} + \frac{1}{(3-4)(3+4)(z-3)}$
$\implies = \frac{1}{8(z-4)} + \frac{1}{56(z+4)} - \frac{1}{7(z-3)}$

এখন যোগজীকরণ সম্পাদন করি:
$I = \left[ \frac{1}{8}\ln|z-4| + \frac{1}{56}\ln|z+4| - \frac{1}{7}\ln|z-3| \right]_{0}^{1}$
$\implies I = \left( \frac{1}{8}\ln|-3| + \frac{1}{56}\ln|5| - \frac{1}{7}\ln|-2| \right) - \left( \frac{1}{8}\ln|-4| + \frac{1}{56}\ln|4| - \frac{1}{7}\ln|-3| \right)$
$\implies I = \left( \frac{1}{8}\ln 3 + \frac{1}{56}\ln 5 - \frac{1}{7}\ln 2 \right) - \left( \frac{1}{8}\ln 4 + \frac{1}{56}\ln 4 - \frac{1}{7}\ln 3 \right)$
$\implies I = \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{7} \right)\ln 3 + \frac{1}{56}\ln 5 - \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{56} \right)\ln 4 - \frac{1}{7}\ln 2$
$\implies I = \frac{15}{56}\ln 3 + \frac{1}{56}\ln 5 - \frac{8}{56}\ln 4 - \frac{8}{56}\ln 2$
$\implies I = \frac{1}{56} [15\ln 3 + \ln 5 - 8\ln 4 - 8\ln 2]$
$\implies I = \frac{1}{56} \left[ \ln\left(\frac{3^{15} \times 5}{4^8 \times 2^8}\right) \right] = \frac{1}{56} \ln\left(\frac{5 \cdot 3^{15}}{2^{24}}\right)$

---

গ) উদ্দীপকে উল্লিখিত পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
উদ্দীপকের চিত্রানুযায়ী পরাবৃত্তের সমীকরণ: $x^2 = 32y$
$\implies x^2 = 4 \cdot 8 \cdot y$
এটি $x^2 = 4ay$ আকারের একটি পরাবৃত্ত, যার অক্ষ Y-অক্ষ বরাবর এবং $a = 8$।

পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের (LSL') সমীকরণ: $y = a \implies y = 8$
পরাবৃত্ত ও উপকেন্দ্রিক লম্ব দ্বারা আবদ্ধ চিহ্নিত অঞ্চলটি Y-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম।
পরাবৃত্তের সমীকরণ হতে পাই, $x = \sqrt{32y} = 4\sqrt{2}\sqrt{y}$

[চিত্র: পরাবৃত্ত এবং তার উপকেন্দ্রিক লম্ব $y=8$ দ্বারা আবদ্ধ চিহ্নিত অঞ্চলের প্রতিরূপ]

অতএব, $y = 0$ হতে $y = 8$ সীমার মধ্যে Y-অক্ষের ডান ও বাম পাশের মোট আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $A$:
$A = 2 \int_{0}^{8} x \, dy$
$\implies A = 2 \int_{0}^{8} 4\sqrt{2}\sqrt{y} \, dy$
$\implies A = 8\sqrt{2} \int_{0}^{8} y^{1/2} \, dy$
$\implies A = 8\sqrt{2} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{8}$
$\implies A = 8\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} \left[ 8^{3/2} - 0 \right]$

আমরা জানি, $8^{3/2} = (\sqrt{8})^3 = (2\sqrt{2})^3 = 16\sqrt{2}$
$\implies A = \frac{16\sqrt{2}}{3} \cdot 16\sqrt{2}$
$\implies A = \frac{256 \times 2}{3}$
$\implies A = \frac{512}{3} \text{ বা } 170.67 \text{ বর্গ একক}$