ক) $\frac{\tan 42^\circ \tan 78^\circ}{\cot 6^\circ \cot 66^\circ}$ এর মান নির্ণয়:
প্রদত্ত রাশি = $\frac{\tan 42^\circ \tan 78^\circ}{\cot 6^\circ \cot 66^\circ}$
$\implies \text{প্রদত্ত রাশি} = \tan 42^\circ \tan 78^\circ \tan 6^\circ \tan 66^\circ$
$\implies \text{প্রদত্ত রাশি} = \tan 6^\circ \tan 42^\circ \tan 66^\circ \tan 78^\circ$
আমরা জানি, $\tan \theta \tan(60^\circ - \theta) \tan(60^\circ + \theta) = \tan 3\theta$
এখানে $\theta = 6^\circ$ ধরলে, $(60^\circ - 6^\circ) = 54^\circ$ এবং $(60^\circ + 6^\circ) = 66^\circ$ পাওয়া যায়।
তাই রাশিটিকে সাজিয়ে পাই:
$\implies \text{প্রদত্ত রাশি} = \frac{\tan 6^\circ \tan 54^\circ \tan 66^\circ \cdot \tan 42^\circ \tan 78^\circ}{\tan 54^\circ}$
$\implies \text{প্রভত্ত রাশি} = \frac{\tan(3 \times 6^\circ) \cdot \tan 42^\circ \tan 78^\circ}{\tan 54^\circ}$
$\implies \text{প্রদত্ত রাশি} = \frac{\tan 18^\circ \tan 42^\circ \tan 78^\circ}{\tan 54^\circ}$
আবার, $\theta = 18^\circ$ ধরলে, $(60^\circ - 18^\circ) = 42^\circ$ এবং $(60^\circ + 18^\circ) = 78^\circ$ পাওয়া যায়।
$\implies \text{প্রদত্ত রাশি} = \frac{\tan 18^\circ \tan(60^\circ - 18^\circ) \tan(60^\circ + 18^\circ)}{\tan 54^\circ}$
$\implies \text{প্রদত্ত রাশি} = \frac{\tan(3 \times 18^\circ)}{\tan 54^\circ}$
$\implies \text{প্রদত্ত রাশি} = \frac{\tan 54^\circ}{\tan 54^\circ}$
$\implies \text{প্রদত্ত রাশি} = 1$

---

খ) প্রমাণ কর যে, $\tan \frac{E}{2} = \frac{p-q}{p+q} \cot \left( \frac{S-T}{2} \right)$:
উদ্দীপকের চিত্রানুযায়ী, $\Delta STE$ এর $S, T, E$ কোণের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে $p, q, r$।
ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুযায়ী আমরা জানি:
$\frac{p}{\sin S} = \frac{q}{\sin T} = \frac{r}{\sin E} = 2R$
$\implies p = 2R \sin S, \quad q = 2R \sin T$

এখন ডানপক্ষ বিবেচনা করি:
$\text{R.H.S.} = \frac{p-q}{p+q} \cot \left( \frac{S-T}{2} \right)$
$\implies \text{R.H.S.} = \frac{2R \sin S - 2R \sin T}{2R \sin S + 2R \sin T} \cot \left( \frac{S-T}{2} \right)$
$\implies \text{R.H.S.} = \frac{\sin S - \sin T}{\sin S + \sin T} \cot \left( \frac{S-T}{2} \right)$
$\implies \text{R.H.S.} = \frac{2 \cos \left(\frac{S+T}{2}\right) \sin \left(\frac{S-T}{2}\right)}{2 \sin \left(\frac{S+T}{2}\right) \cos \left(\frac{S-T}{2}\right)} \cot \left( \frac{S-T}{2} \right)$
$\implies \text{R.H.S.} = \cot \left(\frac{S+T}{2}\right) \tan \left(\frac{S-T}{2}\right) \cot \left( \frac{S-T}{2} \right)$
$\implies \text{R.H.S.} = \cot \left(\frac{S+T}{2}\right) \cdot 1$ $\left[ \because \tan \theta \cdot \cot \theta = 1 \right]$

যেহেতু $\Delta STE$ এ $S + T + E = \pi \implies S + T = \pi - E$
$\implies \frac{S+T}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{E}{2}$
$\implies \text{R.H.S.} = \cot \left(\frac{\pi}{2} - \frac{E}{2}\right)$
$\implies \text{R.H.S.} = \tan \frac{E}{2}$
$\implies \text{R.H.S.} = \text{L.H.S.}$ (প্রমাণিত)

---

গ) যদি $p^4 + q^4 + r^4 = 2p^2 (q^2 + r^2 )$ হয়, তবে দেখাও যে, $S = 45^\circ$ অথবা $135^\circ$:
প্রদত্ত সমীকরণ: $p^4 + q^4 + r^4 = 2p^2 q^2 + 2p^2 r^2$
$\implies p^4 + q^4 + r^4 - 2p^2 q^2 - 2p^2 r^2 = 0$
$\implies (p^2)^2 + (q^2)^2 + (r^2)^2 - 2p^2 q^2 - 2p^2 r^2 + 2q^2 r^2 - 2q^2 r^2 = 0$
$\implies (-p^2)^2 + (q^2)^2 + (r^2)^2 + 2(-p^2)(q^2) + 2(q^2)(r^2) + 2(-p^2)(r^2) - 2q^2 r^2 = 0$
$\implies (-p^2 + q^2 + r^2)^2 - 2q^2 r^2 = 0$
$\implies (q^2 + r^2 - p^2)^2 = 2q^2 r^2$
$\implies q^2 + r^2 - p^2 = \pm \sqrt{2} qr$

উভয়পক্ষকে $2qr$ দ্বারা ভাগ করে পাই:
$\implies \frac{q^2 + r^2 - p^2}{2qr} = \pm \frac{\sqrt{2} qr}{2qr}$
কোসাইন সূত্রানুযায়ী আমরা জানি, $\cos S = \frac{q^2 + r^2 - p^2}{2qr}$
$\implies \cos S = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

হয়, $\cos S = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \cos S = \cos 45^\circ \implies S = 45^\circ$
অথবা, $\cos S = -\frac{1}{\sqrt{2}} \implies \cos S = \cos(180^\circ - 45^\circ) \implies \cos S = \cos 135^\circ \implies S = 135^\circ$
অতএব, $S = 45^\circ$ অথবা $135^\circ$ (দেখানো হলো)