ক) $(3, 2)$ বিন্দু থেকে $2x^2 + 2y^2 - 6x - 7 = 0$ বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের জন্য বৃত্তের সমীকরণকে আদর্শ আকারে নিয়ে পাই:
$x^2 + y^2 - 3x - \frac{7}{2} = 0$

বিন্দু $(x_1, y_1) = (3, 2)$ হতে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য $L$:
$L = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 - 3x_1 - \frac{7}{2}}$
$=> L = \sqrt{3^2 + 2^2 - 3(3) - \frac{7}{2}}$
$=> L = \sqrt{9 + 4 - 9 - 3.5}$
$=> L = \sqrt{0.5}$
$=> L = \frac{1}{\sqrt{2}}$

উত্তর: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ একক।



খ) দৃশ্যকল্প-১ এর সরলরেখা তিনটিটিকে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে রেখাত্রয়: $x = 0$ ($Y$-অক্ষ), $y = 0$ ($X$-অক্ষ) এবং $x = 10$।

যেহেতু বৃত্তটি $x = 0$ এবং $x = 10$ রেখাদ্বয়কে স্পর্শ করে, সেহেতু বৃত্তের ব্যাস হবে এই সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব।
ব্যাস $= 10 - 0 = 10$ একক।
ব্যাসার্ধ, $r = \frac{10}{2} = 5$ একক।

বৃত্তের কেন্দ্রের ভুজ হবে রেখাদ্বয়ের ঠিক মাঝখানে, অর্থাৎ $h = \frac{0+10}{2} = 5$।
যেহেতু বৃত্তটি $y = 0$ ($X$-অক্ষ) কেও স্পর্শ করে, সেহেতু কেন্দ্রের কোটি $k = \pm r = \pm 5$।

কেন্দ্র $(5, 5)$ অথবা $(5, -5)$ এবং ব্যাসার্ধ $5$ হলে বৃত্তের সমীকরণ:
$(x - 5)^2 + (y \mp 5)^2 = 5^2$
$=> x^2 - 10x + 25 + y^2 \mp 10y + 25 = 25$
$=> x^2 + y^2 - 10x \mp 10y + 25 = 0$

উত্তর: $x^2 + y^2 - 10x \pm 10y + 25 = 0$।



গ) দৃশ্যকল্প-২ এর বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে বৃত্তদ্বয়:
$S_1 \equiv x^2 + y^2 - 12x + 16y - 69 = 0$
$S_2 \equiv x^2 + y^2 - 9x + 12y - 59 = 0$

সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ ($S_1 - S_2 = 0$):
$(-12x + 9x) + (16y - 12y) - (69 - 59) = 0$
$=> -3x + 4y - 10 = 0$
$=> 3x - 4y + 10 = 0 \cdots\cdots (i)$

সাধারণ জ্যা-গামী যেকোনো বৃত্তের সমীকরণ ($S_1 + kL = 0$):
$(x^2 + y^2 - 12x + 16y - 69) + k(3x - 4y + 10) = 0$
$=> x^2 + y^2 + x(3k - 12) + y(16 - 4k) + (10k - 69) = 0 \cdots\cdots (ii)$

বৃত্তটির কেন্দ্র: $C \left( -\frac{3k-12}{2}, -\frac{16-4k}{2} \right) = \left( \frac{12-3k}{2}, 2k-8 \right)$
শর্তমতে, জ্যা-টি বৃত্তের ব্যাস হলে কেন্দ্র $(i)$ নং রেখার ওপর অবস্থিত হবে:
$3 \left( \frac{12-3k}{2} \right) - 4(2k-8) + 10 = 0$
$=> \frac{36 - 9k}{2} - 8k + 32 + 10 = 0$
$=> 36 - 9k - 16k + 84 = 0$
$=> -25k + 120 = 0 => k = \frac{120}{25} = \frac{24}{5}$

$k$ এর মান $(ii)$ নং এ বসিয়ে পাই:
$x^2 + y^2 + x(3 \cdot \frac{24}{5} - 12) + y(16 - 4 \cdot \frac{24}{5}) + (10 \cdot \frac{24}{5} - 69) = 0$
$=> x^2 + y^2 + x(\frac{72-60}{5}) + y(\frac{80-96}{5}) + (48-69) = 0$
$=> x^2 + y^2 + \frac{12}{5}x - \frac{16}{5}y - 21 = 0$
$=> 5x^2 + 5y^2 + 12x - 16y - 105 = 0$

উত্তর: $5x^2 + 5y^2 + 12x - 16y - 105 = 0$।