ক) $\int x \ln x dx$ নির্ণয় কর।

LIATE সূত্রানুসারে, $u = \ln x$ এবং $v = x$ ধরি।
$\int u v dx = u \int v dx - \int \{ \frac{d}{dx}(u) \int v dx \} dx$
$=> \int x \ln x dx = \ln x \int x dx - \int \{ \frac{d}{dx}(\ln x) \int x dx \} dx$
$=> \int x \ln x dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \{ \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} \} dx$
$=> \int x \ln x dx = \frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{1}{2} \int x dx$
$=> \int x \ln x dx = \frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + c$
$=> \int x \ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + c$

উত্তর: $\frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + c$



খ) $f(x)$ ফাংশনটির মান যে সকল ব্যবধিতে বৃদ্ধি বা হ্রাস পায় তা নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5$
$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$
$=> f'(x) = 3(x^2 - 4x + 3)$
$=> f'(x) = 3(x-1)(x-3)$

১. ফাংশনটি বৃদ্ধি পাওয়ার শর্ত $f'(x) > 0$:
$3(x-1)(x-3) > 0$
এটি তখনই সত্য যখন $x < 1$ অথবা $x > 3$।
অর্থাৎ, $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$ ব্যবধিতে ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়।

২. ফাংশনটি হ্রাস পাওয়ার শর্ত $f'(x) < 0$:
$3(x-1)(x-3) < 0$
এটি তখনই সত্য যখন $1 < x < 3$।
অর্থাৎ, $(1, 3)$ ব্যবধিতে ফাংশনটি হ্রাস পায়।

উত্তর: বৃদ্ধি পায় $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$ ব্যবধিতে এবং হ্রাস পায় $(1, 3)$ ব্যবধিতে।



গ) $\int \frac{g(x)}{h(x)} dx$ নির্ণয় কর।

এখানে, $\frac{g(x)}{h(x)} = \frac{x+2}{(1-x)(x^2+4)}$
ধরি, $\frac{x+2}{(1-x)(x^2+4)} = \frac{A}{1-x} + \frac{Bx+C}{x^2+4}$
$=> x+2 = A(x^2+4) + (Bx+C)(1-x)$

$x = 1$ বসিয়ে পাই, $1+2 = A(1+4) => 3 = 5A => A = 3/5$
$x = 0$ বসিয়ে পাই, $2 = 4A + C => 2 = 4(3/5) + C => C = 2 - 12/5 = -2/5$
$x^2$ এর সহগ সমীকৃত করে, $0 = A - B => B = A = 3/5$

$\int \frac{x+2}{(1-x)(x^2+4)} dx = \int \frac{3/5}{1-x} dx + \int \frac{(3/5)x - 2/5}{x^2+4} dx$
$=> -\frac{3}{5} \ln|1-x| + \frac{3}{5} \int \frac{x}{x^2+4} dx - \frac{2}{5} \int \frac{1}{x^2+4} dx$
$=> -\frac{3}{5} \ln|1-x| + \frac{3}{10} \ln|x^2+4| - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + c$
$=> -\frac{3}{5} \ln|1-x| + \frac{3}{10} \ln(x^2+4) - \frac{1}{5} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + c$

উত্তর: $\frac{3}{10} \ln(x^2+4) - \frac{3}{5} \ln|1-x| - \frac{1}{5} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + c$